Номер 1326, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1326, страница 408.

Условие.

1326 1) $(a - b) x = a^2 + (a + b) x;$

2) $a^2 x = a + b + b^2 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано линейное уравнение с параметрами $a$ и $b$: $(a - b)x = a^2 + (a + b)x$.

Для его решения сгруппируем все члены с переменной $x$ в левой части уравнения:

$(a - b)x - (a + b)x = a^2$

Вынесем $x$ за скобки:

$x((a - b) - (a + b)) = a^2$

Упростим выражение в скобках, которое является коэффициентом при $x$:

$x(a - b - a - b) = a^2$

$x(-2b) = a^2$

Теперь необходимо проанализировать уравнение в зависимости от значений параметров.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Это происходит, когда $-2b \neq 0$, то есть $b \neq 0$. В этом случае уравнение имеет единственный корень, который мы найдем, разделив обе части на $-2b$:

$x = \frac{a^2}{-2b} = -\frac{a^2}{2b}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Это происходит, когда $b = 0$. Подставим это значение в уравнение $x(-2b) = a^2$:

$x \cdot 0 = a^2$

Теперь решение зависит от значения параметра $a$.

а) Если $a \neq 0$, то правая часть $a^2$ не равна нулю. Уравнение принимает вид $0 = a^2$, что является неверным равенством. Следовательно, при $b=0$ и $a \neq 0$ уравнение не имеет корней.

б) Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $0 = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, при $a=0$ и $b=0$ корнем уравнения является любое число.

Ответ: если $b \neq 0$, то $x = -\frac{a^2}{2b}$; если $b = 0$ и $a \neq 0$, то корней нет; если $a = 0$ и $b = 0$, то $x$ — любое число.

2)

Дано линейное уравнение с параметрами $a$ и $b$: $a^2x = a + b + b^2x$.

Сгруппируем все члены с переменной $x$ в левой части уравнения:

$a^2x - b^2x = a + b$

Вынесем $x$ за скобки и применим формулу разности квадратов $k^2 - m^2 = (k-m)(k+m)$ для коэффициента при $x$:

$x(a^2 - b^2) = a + b$

$x(a - b)(a + b) = a + b$

Теперь проанализируем уравнение в зависимости от значений параметров.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

Это происходит, когда $a^2 - b^2 \neq 0$, то есть $a \neq b$ и $a \neq -b$. В этом случае уравнение имеет единственный корень. Разделим обе части на $(a-b)(a+b)$:

$x = \frac{a+b}{(a-b)(a+b)}$

Так как $a \neq -b$, то $a+b \neq 0$, поэтому можно сократить дробь на $(a+b)$:

$x = \frac{1}{a-b}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

Это происходит, когда $a^2 - b^2 = 0$, то есть $a=b$ или $a=-b$. Рассмотрим эти два подслучая.

а) Если $a = -b$. Тогда $a+b=0$. Подставим это в уравнение $x(a - b)(a + b) = a + b$:

$x(a-b) \cdot 0 = 0$

$0 = 0$

Это равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, если $a=-b$, корнем уравнения является любое число (этот случай также включает $a=b=0$).

б) Если $a=b$ (и, согласно анализу из Случая 1, мы рассматриваем $a \neq -b$, что для $a=b$ означает $a \neq -a$, или $2a \neq 0$, то есть $a \neq 0$). Итак, $a=b \neq 0$. Тогда $a-b=0$, а $a+b = 2a \neq 0$. Подставим это в уравнение:

$x \cdot 0 \cdot (a+b) = a+b$

$0 = a+b$

Так как $a+b = 2a \neq 0$, мы получили неверное равенство $0 = 2a$. Следовательно, при $a=b \neq 0$ уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a \neq b$ и $a \neq -b$, то $x = \frac{1}{a-b}$; если $a = -b$, то $x$ — любое число; если $a = b \neq 0$, то корней нет.