Номер 1328, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1328, страница 408.

Условие.

1328 1) $(x - 3)(x - 2) = 6(x - 3);$

2) $x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(x - 3)(x - 2) = 6(x - 3)$

Для решения этого уравнения перенесем все его члены в левую часть:

$(x - 3)(x - 2) - 6(x - 3) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)((x - 2) - 6) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 3)(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два возможных случая:

1. $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

2. $x - 8 = 0 \implies x_2 = 8$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 3; 8.

2) $x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2} = 0$

Это квадратное уравнение с дробными коэффициентами. Чтобы упростить его, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 2, то есть на 6:

$6 \cdot \left(x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2}\right) = 6 \cdot 0$

$6x^2 - 6 \cdot \frac{11x}{6} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 0$

$6x^2 - 11x + 3 = 0$

Теперь мы получили стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=6$, $b=-11$, $c=3$.

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{3}{2}$.