Номер 1334, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1334, страница 409.

Условие.

1334 1) $2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0;$

2) $(x^2 - x)^2 + 12 = 8(x^2 - x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2x^{-2} + 4x^{-1} - 3 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно $x^{-1}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = x^{-1}$. Тогда $x^{-2} = (x^{-1})^2 = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$2t^2 + 4t - 3 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их.

$\sqrt{D} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$.

Таким образом, мы получили два значения для $t$:

$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{10}}{2}$

$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{10}}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Так как $t = x^{-1}$, то $x = \frac{1}{t}$.

Найдем $x_1$, соответствующий $t_1$:

$x_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{\frac{\sqrt{10}-2}{2}} = \frac{2}{\sqrt{10}-2}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{10}+2)$:

$x_1 = \frac{2(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = \frac{2\sqrt{10}+4}{(\sqrt{10})^2 - 2^2} = \frac{2\sqrt{10}+4}{10-4} = \frac{2\sqrt{10}+4}{6} = \frac{2(\sqrt{10}+2)}{6} = \frac{\sqrt{10}+2}{3}$.

Найдем $x_2$, соответствующий $t_2$:

$x_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{\frac{-2-\sqrt{10}}{2}} = \frac{2}{-2-\sqrt{10}} = -\frac{2}{2+\sqrt{10}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{10})$:

$x_2 = -\frac{2(2-\sqrt{10})}{(2+\sqrt{10})(2-\sqrt{10})} = -\frac{4-2\sqrt{10}}{2^2 - (\sqrt{10})^2} = -\frac{4-2\sqrt{10}}{4-10} = -\frac{4-2\sqrt{10}}{-6} = \frac{4-2\sqrt{10}}{6} = \frac{2(2-\sqrt{10})}{6} = \frac{2-\sqrt{10}}{3}$.

Оба корня не равны нулю, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{10}+2}{3}, x_2 = \frac{2-\sqrt{10}}{3}$.

2) $(x^2 - x)^2 + 12 = 8(x^2 - x)$

Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Заметим, что выражение $(x^2 - x)$ повторяется.

Введем замену: пусть $y = x^2 - x$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 + 12 = 8y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$y^2 - 8y + 12 = 0$

Решим это уравнение относительно $y$. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна 8. Это числа 2 и 6.

Таким образом, корни уравнения:

$y_1 = 2$

$y_2 = 6$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y_1 = 2$.

$x^2 - x = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни по теореме Виета: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. (Произведение -2, сумма 1).

Случай 2: $y_2 = 6$.

$x^2 - x = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

Это также квадратное уравнение. Его корни по теореме Виета: $x_3 = 3$ и $x_4 = -2$. (Произведение -6, сумма 1).

Исходное уравнение является полиномиальным, поэтому область допустимых значений — все действительные числа. Все четыре найденных корня являются решениями.

Ответ: $-2, -1, 2, 3$.