Номер 1339, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1339, страница 409.

Условие.

1339 1) $|6 - 2x| = 3x + 1;$

2) $2|x - 2| = |x| - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $|6 - 2x| = 3x + 1$

Это уравнение вида $|f(x)| = g(x)$. Поскольку значение модуля всегда неотрицательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это задает область допустимых значений (ОДЗ):

$3x + 1 \ge 0$

$3x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{3}$

При выполнении этого условия исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений, которые получаются при раскрытии модуля с положительным и отрицательным знаком:

Случай 1: $6 - 2x = 3x + 1$

Случай 2: $6 - 2x = -(3x + 1)$

Решим первое уравнение:

$6 - 1 = 3x + 2x$

$5 = 5x$

$x = 1$

Проверяем, соответствует ли корень ОДЗ: $1 \ge -\frac{1}{3}$. Да, соответствует. Значит, $x = 1$ является решением.

Решим второе уравнение:

$6 - 2x = -3x - 1$

$3x - 2x = -1 - 6$

$x = -7$

Проверяем, соответствует ли корень ОДЗ: $-7 \ge -\frac{1}{3}$. Нет, не соответствует. Значит, $x = -7$ — посторонний корень.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $1$.

2) $2|x - 2| = |x| - 1$

Для решения этого уравнения с двумя модулями применим метод интервалов. Найдем нули подмодульных выражений:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x = 0$

Точки $x=0$ и $x=2$ разбивают числовую прямую на три интервала. Решим уравнение на каждом из них, раскрывая модули в соответствии со знаками подмодульных выражений.

Интервал 1: $x < 0$

На этом интервале $|x| = -x$ и $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.

Уравнение принимает вид:

$2(2 - x) = -x - 1$

$4 - 2x = -x - 1$

$5 = x$

Найденное значение $x = 5$ не входит в рассматриваемый интервал $x < 0$, поэтому на этом интервале решений нет.

Интервал 2: $0 \le x < 2$

На этом интервале $|x| = x$ и $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.

Уравнение принимает вид:

$2(2 - x) = x - 1$

$4 - 2x = x - 1$

$5 = 3x$

$x = \frac{5}{3}$

Найденное значение $x = \frac{5}{3}$ (приблизительно $1.67$) входит в рассматриваемый интервал $[0; 2)$, поэтому является решением.

Интервал 3: $x \ge 2$

На этом интервале $|x| = x$ и $|x - 2| = x - 2$.

Уравнение принимает вид:

$2(x - 2) = x - 1$

$2x - 4 = x - 1$

$x = 3$

Найденное значение $x = 3$ входит в рассматриваемый интервал $x \ge 2$, поэтому является решением.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $\frac{5}{3}; 3$.