Номер 1343, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1343, страница 409.

Условие.

1343 1) $3^{x-7} = 81;$

2) $2^{x^2 - 5x + 6.5} = \sqrt{2};$

3) $\left(\frac{1}{4} \cdot 4^x\right)^x = 2^{2x+6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано показательное уравнение $3^{x-7} = 81$.

Для решения необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим число 81 как степень числа 3. Поскольку $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, то $81 = 3^4$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$3^{x-7} = 3^4$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 7 = 4$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$, перенеся -7 в правую часть:

$x = 4 + 7$

$x = 11$

Ответ: $11$

2)

Дано показательное уравнение $2^{x^2 - 5x + 6,5} = \sqrt{2}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Правую часть, $\sqrt{2}$, можно представить в виде степени с рациональным показателем:

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0.5}$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$2^{x^2 - 5x + 6.5} = 2^{0.5}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 - 5x + 6.5 = 0.5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6.5 - 0.5 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $x_1+x_2=5$, произведение корней $x_1 \cdot x_2=6$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

Ответ: $2; 3$

3)

Дано уравнение $(\frac{1}{4} \cdot 4^x)^x = 2^{2x+6}$.

Сначала преобразуем левую часть уравнения. Выполним действие в скобках, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Представим $\frac{1}{4}$ как $4^{-1}$:

$\frac{1}{4} \cdot 4^x = 4^{-1} \cdot 4^x = 4^{-1+x} = 4^{x-1}$

Теперь левая часть уравнения выглядит так: $(4^{x-1})^x$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(4^{x-1})^x = 4^{(x-1)x} = 4^{x^2 - x}$

Теперь приведем левую часть к основанию 2, так как $4 = 2^2$:

$4^{x^2 - x} = (2^2)^{x^2 - x} = 2^{2(x^2-x)} = 2^{2x^2 - 2x}$

Таким образом, исходное уравнение приводится к виду:

$2^{2x^2 - 2x} = 2^{2x+6}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$2x^2 - 2x = 2x + 6$

Переносим все члены в левую часть и приводим подобные слагаемые:

$2x^2 - 2x - 2x - 6 = 0$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 3$