Номер 1350, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1350, страница 410.

Условие.

1350 1) $(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x + 2 = 0;$

2) $(\log_3 x)^2 + 5 = 2 \log_3 x^3 .$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\log_2 x)^2 - 3 \log_2 x + 2 = 0$

Это логарифмическое уравнение, которое сводится к квадратному. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 2$. Отсюда легко найти корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 2$

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $\log_2 x = 1$. По определению логарифма, $x = 2^1 = 2$.

2. Если $t = 2$, то $\log_2 x = 2$. По определению логарифма, $x = 2^2 = 4$.

Оба найденных корня ($x=2$ и $x=4$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 2; 4.

2) $(\log_3 x)^2 + 5 = 2 \log_3 x^3$

Сначала определим ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $x^3 > 0$. Оба условия сводятся к одному: $x > 0$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$:

$2 \log_3 x^3 = 2 \cdot (3 \log_3 x) = 6 \log_3 x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\log_3 x)^2 + 5 = 6 \log_3 x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение, приведенное к стандартному виду:

$(\log_3 x)^2 - 6 \log_3 x + 5 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 6y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $y_1 + y_2 = 6$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 5$. Отсюда корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 5$

Выполним обратную замену:

1. Если $y = 1$, то $\log_3 x = 1$. Отсюда $x = 3^1 = 3$.

2. Если $y = 5$, то $\log_3 x = 5$. Отсюда $x = 3^5 = 243$.

Оба корня ($x=3$ и $x=243$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 3; 243.