Номер 1353, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1353, страница 410.

Условие.

1353 1) $\log_2 (2x - 18) + \log_2 (x - 9) = 5;$

2) $\lg (x^2 + 19) - \lg (x + 1) = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $\log_2 (2x - 18) + \log_2 (x - 9) = 5$.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$2x - 18 > 0 \implies 2x > 18 \implies x > 9$
$x - 9 > 0 \implies x > 9$
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x > 9$.
Далее воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\log_2 ((2x - 18)(x - 9)) = 5$
Преобразуем выражение в скобках, вынеся общий множитель:
$\log_2 (2(x - 9)(x - 9)) = 5$
$\log_2 (2(x - 9)^2) = 5$
Теперь перейдем от логарифмического уравнения к показательному, используя определение логарифма: $\log_a b = c \iff a^c = b$.
$2(x - 9)^2 = 2^5$
$2(x - 9)^2 = 32$
Разделим обе части уравнения на 2:
$(x - 9)^2 = 16$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x - 9 = \pm\sqrt{16}$
$x - 9 = \pm4$
Получаем два возможных решения:
$x - 9 = 4 \implies x_1 = 13$
$x - 9 = -4 \implies x_2 = 5$
Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x > 9$).
Корень $x_1 = 13$ удовлетворяет условию $13 > 9$.
Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет условию $5 > 9$, следовательно, это посторонний корень.
Ответ: $13$.

2) Исходное уравнение: $\lg (x^2 + 19) - \lg (x + 1) = 1$.
Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.
Найдем ОДЗ. Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$x^2 + 19 > 0$. Это неравенство верно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$, и значит $x^2 + 19$ всегда положительно.
$x + 1 > 0 \implies x > -1$.
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x > -1$.
Воспользуемся свойством разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$.
$\lg\left(\frac{x^2 + 19}{x + 1}\right) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10^1$
$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10$
Умножим обе части на $(x+1)$, что допустимо, так как из ОДЗ следует, что $x+1 > 0$.
$x^2 + 19 = 10(x + 1)$
$x^2 + 19 = 10x + 10$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 10x + 19 - 10 = 0$
$x^2 - 10x + 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $10$, а их произведение равно $9$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.
Либо решим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}$
$x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x > -1$).
Оба корня, $x_1 = 9$ и $x_2 = 1$, удовлетворяют этому условию.
Ответ: $1; 9$.