Номер 1360, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1360, страница 410.

Условие.

1360 Решить уравнение (z — комплексное число):

1) $z^2 + 4z + 19 = 0;$

2) $z^2 - 2z + 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $z^2 + 4z + 19 = 0;$

Для решения данного квадратного уравнения вида $az^2 + bz + c = 0$ воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант. В этом уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=4$, $c=19$.

Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 16 - 76 = -60$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, корни уравнения являются комплексно-сопряженными числами. Для нахождения корней нам понадобится корень из дискриминанта. В поле комплексных чисел, используя мнимую единицу $i$ (где $i^2 = -1$), имеем:

$\sqrt{D} = \sqrt{-60} = \sqrt{60 \cdot (-1)} = \sqrt{60}i = \sqrt{4 \cdot 15}i = 2\sqrt{15}i$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{15}i}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} \pm \frac{2\sqrt{15}i}{2} = -2 \pm \sqrt{15}i$.

Таким образом, получаем два комплексных корня.

Ответ: $-2 - \sqrt{15}i; -2 + \sqrt{15}i$.

2) $z^2 - 2z + 3 = 0.$

Это также квадратное уравнение, которое мы решим аналогичным способом. Коэффициенты здесь: $a=1$, $b=-2$, $c=3$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Дискриминант отрицательный, следовательно, корни будут комплексными.

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{-8} = \sqrt{8 \cdot (-1)} = \sqrt{8}i = \sqrt{4 \cdot 2}i = 2\sqrt{2}i$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{2}i}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = \frac{2}{2} \pm \frac{2\sqrt{2}i}{2} = 1 \pm \sqrt{2}i$.

Получаем два комплексно-сопряженных корня.

Ответ: $1 - \sqrt{2}i; 1 + \sqrt{2}i$.