Номер 1358, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1358, страница 410.

Условие.

1358 1) $x^{1 + \lg x} = 10x;$

2) $x^{\lg x} = 100x;$

3) $\log_{2} (17 - 2^{x}) + \log_{2} (2^{x} + 15) = 8;$

4) $\log_{2} (3 + 2^{x}) + \log_{2} (5 - 2^{x}) = 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $x^{1 + \lg x} = 10x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования логарифма: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм, $\lg$):
$\lg(x^{1 + \lg x}) = \lg(10x)$
Применим свойства логарифмов: $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$ и $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$.
$(1 + \lg x) \cdot \lg x = \lg 10 + \lg x$
Поскольку $\lg 10 = 1$, уравнение преобразуется к виду:
$(1 + \lg x) \lg x = 1 + \lg x$
Перенесем все члены в левую часть:
$(1 + \lg x) \lg x - (1 + \lg x) = 0$
Вынесем общий множитель $(1 + \lg x)$ за скобки:
$(1 + \lg x)(\lg x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $1 + \lg x = 0 \implies \lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.
2) $\lg x - 1 = 0 \implies \lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
Оба найденных корня ($0.1$ и $10$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $0.1; 10$.

2) Исходное уравнение: $x^{\lg x} = 100x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
$\lg(x^{\lg x}) = \lg(100x)$
Применим свойства логарифмов:
$\lg x \cdot \lg x = \lg 100 + \lg x$
$(\lg x)^2 = 2 + \lg x$
Сделаем замену переменной: пусть $y = \lg x$. Уравнение примет вид:
$y^2 = 2 + y$
$y^2 - y - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1) $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.
2) $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.
Оба корня ($100$ и $0.1$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $0.1; 100$.

3) Исходное уравнение: $\log_2(17 - 2^x) + \log_2(2^x + 15) = 8$.
ОДЗ определяется условиями, что выражения под знаками логарифмов должны быть положительными:
1) $17 - 2^x > 0 \implies 2^x < 17 \implies x < \log_2 17$.
2) $2^x + 15 > 0$, что выполняется для любого действительного $x$, так как $2^x > 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x < \log_2 17$.
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:
$\log_2((17 - 2^x)(2^x + 15)) = 8$
По определению логарифма:
$(17 - 2^x)(2^x + 15) = 2^8$
$(17 - 2^x)(2^x + 15) = 256$
Сделаем замену: пусть $t = 2^x$. Учитывая, что $2^x > 0$, имеем $t > 0$.
$(17 - t)(t + 15) = 256$
$17t + 17 \cdot 15 - t^2 - 15t = 256$
$-t^2 + 2t + 255 = 256$
$-t^2 + 2t - 1 = 0$
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t - 1)^2 = 0$
$t = 1$. Это значение удовлетворяет условию $t>0$.
Выполним обратную замену: $2^x = 1$, что равносильно $2^x = 2^0$, откуда $x=0$.
Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $0 < \log_2 17$. Это верно, так как $\log_2 17 \approx \log_2 16 = 4$.
Ответ: $0$.

4) Исходное уравнение: $\log_2(3 + 2^x) + \log_2(5 - 2^x) = 4$.
ОДЗ:
1) $3 + 2^x > 0$, что выполняется для любого $x$.
2) $5 - 2^x > 0 \implies 2^x < 5 \implies x < \log_2 5$.
ОДЗ: $x < \log_2 5$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_2((3 + 2^x)(5 - 2^x)) = 4$
По определению логарифма:
$(3 + 2^x)(5 - 2^x) = 2^4$
$(3 + 2^x)(5 - 2^x) = 16$
Сделаем замену: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
$(3 + t)(5 - t) = 16$
$15 - 3t + 5t - t^2 = 16$
$-t^2 + 2t + 15 = 16$
$-t^2 + 2t - 1 = 0$
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t - 1)^2 = 0$
$t = 1$. Это значение удовлетворяет условию $t>0$.
Выполним обратную замену: $2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.
Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $0 < \log_2 5$. Это верно, так как $\log_2 5 > \log_2 4 = 2$.
Ответ: $0$.