Номер 1365, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1365, страница 410.

Условие.

1365 1) $(3 - 4 \sin x) (3 + 4 \cos x) = 0;$

2) $(\operatorname{tg} x + 3) (\operatorname{tg} x + 1) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(3 - 4 \sin x)(3 + 4 \cos x) = 0;$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$3 - 4 \sin x = 0$ или $3 + 4 \cos x = 0$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Решение первого уравнения:
$3 - 4 \sin x = 0$
$4 \sin x = 3$
$\sin x = \frac{3}{4}$
Поскольку $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Общая формула для решений уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, получаем: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение второго уравнения:
$3 + 4 \cos x = 0$
$4 \cos x = -3$
$\cos x = -\frac{3}{4}$
Поскольку $|-\frac{3}{4}| \le 1$, это уравнение также имеет решения. Общая формула для решений уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, получаем: $x = \pm \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные решения.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $(\operatorname{tg} x + 3)(\operatorname{tg} x + 1) = 0.$

Это уравнение также распадается на совокупность двух уравнений. Предварительно учтем область определения тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$\operatorname{tg} x + 3 = 0$ или $\operatorname{tg} x + 1 = 0$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Решение первого уравнения:
$\operatorname{tg} x + 3 = 0$
$\operatorname{tg} x = -3$
Решение этого уравнения записывается как $x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем: $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение второго уравнения:
$\operatorname{tg} x + 1 = 0$
$\operatorname{tg} x = -1$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Обе серии корней удовлетворяют области определения тангенса.
Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.