Номер 1369, страница 411 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1369, страница 411.

Условие.

1369 1) $2 \cos x + \sin x = 0;$

2) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2 \cos x + \sin x = 0$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для решения таких уравнений используется метод деления на $\cos x$ или $\sin x$.

Проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если $\cos x = 0$, то из исходного уравнения $2 \cdot 0 + \sin x = 0$ следует, что $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю для одного и того же значения $x$, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.

Выполним деление:

$\frac{2 \cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

$2 + \tan x = 0$

Перенесем 2 в правую часть:

$\tan x = -2$

Общее решение для уравнения $\tan x = a$ имеет вид $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае получаем:

$x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности арктангенса, $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, решение можно записать как:

$x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решим его аналогичным методом, разделив обе части на $\cos x$.

Как и в предыдущем примере, $\cos x \neq 0$. Если бы $\cos x = 0$, то из уравнения следовало бы, что $\sin x = 0$, что невозможно.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

$\tan x + \sqrt{3} = 0$

Выразим $\tan x$:

$\tan x = -\sqrt{3}$

Это табличное значение для тангенса. Угол, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$, это $-\frac{\pi}{3}$.

Общее решение уравнения имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.