Номер 1363, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1363, страница 410.

Условие.

Решить уравнение (1363–1385).

1363 1) $sin 2x = \frac{1}{2}$;

2) $cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $2 tg x + 5 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $ \sin 2x = \frac{1}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Для его решения воспользуемся общей формулой для уравнений вида $ \sin t = a $: $ t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ t = 2x $ и $ a = \frac{1}{2} $.

Найдем значение арксинуса: $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $.

Подставим это значение в общую формулу:

$ 2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь, чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 2:

$ x = \frac{(-1)^k \frac{\pi}{6}}{2} + \frac{\pi k}{2} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) Дано уравнение $ \cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнений вида $ \cos t = a $: $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ t = 3x $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найдем значение арккосинуса: $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} $.

Подставим это значение в общую формулу:

$ 3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 3:

$ x = \frac{\pm \frac{3\pi}{4}}{3} + \frac{2\pi k}{3} $

$ x = \pm \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3} $

Упростим дробь:

$ x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $.

3) Дано уравнение $ 2 \tg x + 5 = 0 $.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $ \tg x $.

$ 2 \tg x = -5 $

$ \tg x = -\frac{5}{2} $

Теперь мы имеем простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \tg x = a $. Общая формула для его решения: $ x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = -\frac{5}{2} $. Подставляем в формулу:

$ x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{5}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арктангенса ($ \operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a) $), можем записать ответ в следующем виде:

$ x = -\operatorname{arctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\operatorname{arctg}\frac{5}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.