Номер 1356, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1356, страница 410.

Условие.

1356 1) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0;$

2) $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0$.

Заметим, что основания степеней связаны между собой: $4=2^2$, $49=7^2$ и $14=2 \cdot 7$. Перепишем уравнение, используя эти соотношения:

$7 \cdot (2^2)^{x^2} - 9 \cdot (2 \cdot 7)^{x^2} + 2 \cdot (7^2)^{x^2} = 0$

$7 \cdot (2^{x^2})^2 - 9 \cdot 2^{x^2} \cdot 7^{x^2} + 2 \cdot (7^{x^2})^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $(7^{x^2})^2$, которое не равно нулю при любых значениях $x$:

$7 \cdot \frac{(2^{x^2})^2}{(7^{x^2})^2} - 9 \cdot \frac{2^{x^2} \cdot 7^{x^2}}{(7^{x^2})^2} + 2 \cdot \frac{(7^{x^2})^2}{(7^{x^2})^2} = 0$

$7 \cdot \left(\frac{2^{x^2}}{7^{x^2}}\right)^2 - 9 \cdot \frac{2^{x^2}}{7^{x^2}} + 2 = 0$

$7 \cdot \left(\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}\right)^2 - 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$7t^2 - 9t + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 = 5^2$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 5}{2 \cdot 7} = \frac{9 \pm 5}{14}$

Отсюда находим два корня для $t$:

$t_1 = \frac{9+5}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{9-5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

Оба корня положительны, что удовлетворяет условию $t>0$. Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $t_1 = 1$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{2}{7}$:

$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^0$

Приравнивая показатели, получаем: $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

Случай 2: $t_2 = \frac{2}{7}$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \frac{2}{7}$

$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^1$

Приравнивая показатели, получаем: $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: -1, 0 и 1.

Ответ: $x \in \{-1, 0, 1\}$.

2) Исходное уравнение: $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$5^{x+4} - 4 \cdot 5^{x+3} = 4^{x+4} - 3 \cdot 4^{x+3}$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы вынести общий множитель:

$5^1 \cdot 5^{x+3} - 4 \cdot 5^{x+3} = 4^1 \cdot 4^{x+3} - 3 \cdot 4^{x+3}$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях:

$5^{x+3}(5 - 4) = 4^{x+3}(4 - 3)$

$5^{x+3} \cdot 1 = 4^{x+3} \cdot 1$

$5^{x+3} = 4^{x+3}$

Поскольку $4^{x+3} \neq 0$ при любом $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $4^{x+3}$:

$\frac{5^{x+3}}{4^{x+3}} = 1$

$\left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, мы можем записать:

$\left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = \left(\frac{5}{4}\right)^0$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$x+3 = 0$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.