Номер 1354, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1354, страница 410.

Условие.

1354 1) $5^{\log_3 x^2} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0;$

2) $25^{\log_3 x} - 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $5^{\log_3 x^2} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Таким образом, в нашем уравнении $x^2 > 0$ и $x > 0$. Объединяя эти условия, получаем, что $x > 0$.

Используем свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$. Тогда показатель степени в первом слагаемом можно преобразовать: $\log_3 x^2 = 2 \log_3 x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$5^{2 \log_3 x} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перепишем первый член:

$(5^{\log_3 x})^2 - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $5^{\log_3 x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^{\log_3 x}$. Так как показательная функция $a^z$ (где $a > 0, a \ne 1$) всегда принимает положительные значения, то $t > 0$.

После замены получаем уравнение:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $t$.

Случай 1: $t = 1$.
$5^{\log_3 x} = 1$
Представим 1 как $5^0$:
$5^{\log_3 x} = 5^0$
Приравниваем показатели степеней:
$\log_3 x = 0$
По определению логарифма, $x = 3^0 = 1$.

Случай 2: $t = 5$.
$5^{\log_3 x} = 5$
Представим 5 как $5^1$:
$5^{\log_3 x} = 5^1$
Приравниваем показатели степеней:
$\log_3 x = 1$
По определению логарифма, $x = 3^1 = 3$.

Оба корня, $x=1$ и $x=3$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; 3$

2) $25^{\log_3 x} - 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней.

Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому первый член можно записать как:
$25^{\log_3 x} = (5^2)^{\log_3 x} = 5^{2 \log_3 x} = (5^{\log_3 x})^2$.

Второй член преобразуем, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$5^{\log_3 x + 1} = 5^{\log_3 x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{\log_3 x}$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(5^{\log_3 x})^2 - 4 \cdot (5 \cdot 5^{\log_3 x}) = 125$

$(5^{\log_3 x})^2 - 20 \cdot 5^{\log_3 x} - 125 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 5^{\log_3 x}$. Условие на новую переменную: $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 20y - 125 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900 = 30^2$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 30}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $y_1 = 25$. Выполним обратную замену:

$5^{\log_3 x} = 25$

Представим 25 как $5^2$:

$5^{\log_3 x} = 5^2$

Приравниваем показатели степеней:

$\log_3 x = 2$

По определению логарифма, $x = 3^2 = 9$.

Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), значит, это и есть решение.

Ответ: $9$