Номер 1348, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1348, страница 409.

Условие.

1348 1) $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 155;$

2) $3^{2x} - 2 \cdot 3^{2x-1} - 2 \cdot 3^{2x-2} = 1;$

3) $7^x - 7^{x-1} = 6;$

4) $3^{x+2} + 3^x = 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $5^{x+1} + 5^x + 5^{x-1} = 155$
Для решения этого показательного уравнения используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель за скобки. В данном случае удобно вынести $5^x$.
$5^x \cdot 5^1 + 5^x \cdot 1 + 5^x \cdot 5^{-1} = 155$
Выносим $5^x$ за скобки:
$5^x(5 + 1 + \frac{1}{5}) = 155$
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$5 + 1 + \frac{1}{5} = 6 + \frac{1}{5} = \frac{30}{5} + \frac{1}{5} = \frac{31}{5}$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$5^x \cdot \frac{31}{5} = 155$
Чтобы найти $5^x$, разделим обе части уравнения на $\frac{31}{5}$:
$5^x = 155 : \frac{31}{5} = 155 \cdot \frac{5}{31}$
Сократим 155 и 31 (так как $155 = 5 \cdot 31$):
$5^x = 5 \cdot 5 = 25$
Представим 25 в виде степени с основанием 5:
$5^x = 5^2$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2) $3^{2x} - 2 \cdot 3^{2x-1} - 2 \cdot 3^{2x-2} = 1$
В этом уравнении вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{2x-2}$.
$3^{2x-2} \cdot 3^2 - 2 \cdot (3^{2x-2} \cdot 3^1) - 2 \cdot 3^{2x-2} = 1$
Выносим $3^{2x-2}$ за скобки:
$3^{2x-2}(3^2 - 2 \cdot 3 - 2) = 1$
Вычислим значение в скобках:
$9 - 6 - 2 = 1$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$3^{2x-2} \cdot 1 = 1$
$3^{2x-2} = 1$
Представим 1 как степень с основанием 3, зная, что любое число в степени 0 равно 1:
$3^{2x-2} = 3^0$
Приравниваем показатели степеней:
$2x - 2 = 0$
$2x = 2$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

3) $7^x - 7^{x-1} = 6$
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $7^{x-1}$.
$7^{x-1} \cdot 7^1 - 7^{x-1} = 6$
Выносим $7^{x-1}$ за скобки:
$7^{x-1}(7 - 1) = 6$
Вычислим значение в скобках:
$7 - 1 = 6$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$7^{x-1} \cdot 6 = 6$
Разделим обе части уравнения на 6:
$7^{x-1} = 1$
Представим 1 как степень с основанием 7:
$7^{x-1} = 7^0$
Приравниваем показатели степеней:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

4) $3^{x+2} + 3^x = 10$
Вынесем за скобки общий множитель $3^x$.
$3^x \cdot 3^2 + 3^x = 10$
Выносим $3^x$ за скобки:
$3^x(3^2 + 1) = 10$
Вычислим значение в скобках:
$9 + 1 = 10$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$3^x \cdot 10 = 10$
Разделим обе части уравнения на 10:
$3^x = 1$
Представим 1 как степень с основанием 3:
$3^x = 3^0$
Приравниваем показатели степеней:
$x = 0$
Ответ: $x=0$.