Номер 1345, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1345, страница 409.

Условие.

1345 1) $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)};$

2) $0,2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left(\frac{1}{5}\right)^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе части к степеням с одинаковыми основаниями. Заметим, что основание в правой части уравнения $35$ можно представить как произведение оснований из левой части: $35 = 5 \cdot 7$.

Представим правую часть уравнения в виде произведения степеней с основаниями 5 и 7:

$35^{\frac{1}{2}(5x+6)} = (5 \cdot 7)^{\frac{5x+6}{2}} = 5^{\frac{5x+6}{2}} \cdot 7^{\frac{5x+6}{2}}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 5^{\frac{5x+6}{2}} \cdot 7^{\frac{5x+6}{2}}$

Так как основания 5 и 7 являются простыми числами, равенство будет верным только в том случае, если показатели степеней при одинаковых основаниях равны. Это дает нам систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 2x+5 = \frac{5x+6}{2} \\ 3x+1 = \frac{5x+6}{2} \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений одинаковы, мы можем приравнять их левые части:

$2x+5 = 3x+1$

Решим это линейное уравнение:

$5 - 1 = 3x - 2x$

$x = 4$

Для проверки подставим найденное значение $x=4$ в одно из уравнений системы, например, в первое:

$2(4) + 5 = \frac{5(4)+6}{2}$

$8 + 5 = \frac{20+6}{2}$

$13 = \frac{26}{2}$

$13 = 13$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $4$

2) $0.2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = (\frac{1}{5})^6$

Приведем все степени в уравнении к одному основанию. Наиболее удобным общим основанием является 5. Выразим $0.2$ и $\frac{1}{5}$ через степень с основанием 5:

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(5^{-1})^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = (5^{-1})^6$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$5^{-x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части уравнения:

$5^{-x^2 + 2x + 2} = 5^{-6}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x^2 + 2x + 2 = -6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + 2x + 2 + 6 = 0$

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства решения:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2-6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 4$