Номер 1346, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1346, страница 409.

Условие.

1346 1) $2.4^{3-2x} = 2.4^{3x-2}$

2) $(\frac{5}{3})^x = (\frac{3}{5})^{x-2}$

3) $\frac{1}{\sqrt{8}} = (\frac{1}{16})^{-x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано показательное уравнение: $2,4 \cdot 4^{3 - 2x} = 2,4 \cdot 4^{3x - 2}$.
Поскольку обе части уравнения содержат общий множитель 2,4, мы можем разделить обе части на него (так как $2,4 \neq 0$):
$4^{3 - 2x} = 4^{3x - 2}$
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны (равны 4), мы можем приравнять их показатели:
$3 - 2x = 3x - 2$
Решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:
$3 + 2 = 3x + 2x$
$5 = 5x$
Разделим обе части на 5:
$x = 1$
Ответ: $1$.

2)

Дано показательное уравнение: $(\frac{5}{3})^x = (\frac{3}{5})^{x - 2}$.
Чтобы решить это уравнение, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что дробь в правой части является обратной к дроби в левой части: $\frac{3}{5} = (\frac{5}{3})^{-1}$.
Подставим это выражение в правую часть уравнения:
$(\frac{5}{3})^x = ((\frac{5}{3})^{-1})^{x - 2}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:
$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^{-1 \cdot (x - 2)}$
$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^{-x + 2}$
Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = -x + 2$
Перенесем $-x$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$x + x = 2$
$2x = 2$
Разделим обе части на 2:
$x = 1$
Ответ: $1$.

3)

Дано показательное уравнение: $\frac{1}{\sqrt{8}} = (\frac{1}{16})^{-x}$.
Для решения приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 2.
Сначала преобразуем левую часть: $\frac{1}{\sqrt{8}}$.
Так как $8 = 2^3$, то $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
Следовательно, $\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = 2^{-\frac{3}{2}}$.
Теперь преобразуем правую часть: $(\frac{1}{16})^{-x}$.
Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Подставим это в правую часть: $(\frac{1}{16})^{-x} = (2^{-4})^{-x}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{(-4) \cdot (-x)} = 2^{4x}$.
Теперь исходное уравнение можно записать в виде:
$2^{-\frac{3}{2}} = 2^{4x}$
Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$-\frac{3}{2} = 4x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:
$x = -\frac{3}{2 \cdot 4}$
$x = -\frac{3}{8}$
Ответ: $-\frac{3}{8}$.