Номер 1351, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1351, страница 410.

Условие.

1351 1) $ln \frac{2}{x+1} = ln (x+2);$

2) $log_3 \sqrt{3x-6} - log_3 \sqrt{x-3} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\ln\frac{2}{x+1}=\ln(x+2)$

Для решения логарифмического уравнения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$ \begin{cases} \frac{2}{x+1} > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства, так как числитель $2$ положителен, следует, что и знаменатель должен быть положителен: $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.

Из второго неравенства получаем $x > -2$.

Пересечением этих двух условий является $x > -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.

Теперь решаем само уравнение. Так как основания натуральных логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{2}{x+1} = x+2$

Умножим обе части на $(x+1)$. Так как из ОДЗ мы знаем, что $x+1 > 0$, это преобразование является равносильным.

$2 = (x+2)(x+1)$

Раскроем скобки в правой части:

$2 = x^2 + x + 2x + 2$

$2 = x^2 + 3x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > -1$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1$, следовательно, является решением уравнения.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 > -1$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: 0

2) $\log_3 \sqrt{3x-6} - \log_3 \sqrt{x-3} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Так как под логарифмом стоит квадратный корень, это эквивалентно тому, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.

$ \begin{cases} 3x-6 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства: $3x > 6 \implies x > 2$.

Из второго неравенства: $x > 3$.

Пересечением этих условий является $x > 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_3 \frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}} = 1$

Используем свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\log_3 \sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 1$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c=b $):

$\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 3^1$

$\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{3x-6}{x-3} = 9$

Умножим обе части на $(x-3)$. В соответствии с ОДЗ, $x-3 > 0$.

$3x-6 = 9(x-3)$

$3x-6 = 9x - 27$

Соберем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$27 - 6 = 9x - 3x$

$21 = 6x$

$x = \frac{21}{6}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{7}{2} = 3.5$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ ($x > 3$).

Корень $x = 3.5$ удовлетворяет условию $3.5 > 3$, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: 3,5