Номер 1332, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1332, страница 409.

Условие.

1332 1) $x - 4 + \frac{1}{x} = 0;$

2) $\frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $x - 4 + \frac{1}{x} = 0$.

Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Для решения умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x$:

$x \cdot (x - 4 + \frac{1}{x}) = x \cdot 0$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Получили квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-4$, $c=1$. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Корни уравнения:

$x_1 = 2 + \sqrt{3}$

$x_2 = 2 - \sqrt{3}$

Оба корня не равны нулю, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + 4 = 0$.

Это рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x+2$:

$\frac{4x^2 - 10}{x+2} + \frac{4(x+2)}{x+2} = 0$

$\frac{4x^2 - 10 + 4x + 8}{x+2} = 0$

$\frac{4x^2 + 4x - 2}{x+2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель ($x \neq -2$) мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$4x^2 + 4x - 2 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$2x^2 + 2x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=2$, $b=2$, $c=-1$. Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2(-1 \pm \sqrt{3})}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$

Оба корня не равны -2, значит они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$.