Номер 1331, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1331, страница 409.

Условие.

1331 $\frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Исходное уравнение:

$$ \frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x - 1}{x^3 + 1} $$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Рассмотрим каждый знаменатель:

1. $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

2. $x^2 - x + 1 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($1 > 0$), выражение $x^2 - x + 1$ всегда больше нуля при любых действительных значениях $x$.

3. $x^3 + 1 \neq 0$. Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$: $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$. Это выражение равно нулю, если $x+1=0$ или $x^2-x+1=0$. Как мы уже выяснили, это происходит только при $x=-1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -1$.

Теперь преобразуем уравнение. Заметим, что знаменатель в правой части является общим знаменателем для дробей в левой части: $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$.

Перепишем уравнение, используя разложение знаменателя:

$$ \frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x - 1}{(x+1)(x^2 - x + 1)} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x^2 - x + 1)$:

$$ \frac{2(x+1)}{(x+1)(x^2 - x + 1)} - \frac{1(x^2 - x + 1)}{(x+1)(x^2 - x + 1)} = \frac{2x - 1}{(x+1)(x^2 - x + 1)} $$

Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$$ 2(x+1) - (x^2 - x + 1) = 2x - 1 $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ 2x + 2 - x^2 + x - 1 = 2x - 1 $$

$$ -x^2 + 3x + 1 = 2x - 1 $$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ 0 = x^2 - 3x - 1 + 2x - 1 $$

$$ x^2 - x - 2 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Либо через дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 $$

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} $$

$$ x_1 = \frac{1+3}{2} = 2 $$

$$ x_2 = \frac{1-3}{2} = -1 $$

Теперь сравним полученные корни с ОДЗ ($x \neq -1$).

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем и должен быть исключен.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $2$