Номер 1329, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1329, страница 409.

Условие.

1329 1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0;$

2) $\frac{3x^2}{3x+1} - 2 = \frac{2x+1}{3x+1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:

$\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 0$

Сложим дроби:

$\frac{x(x-1) + x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 0$

Рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$x(x-1) + x(x+1) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - x + x^2 + x = 0$

$2x^2 = 0$

$x^2 = 0$

$x = 0$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $0 \neq -1$ и $0 \neq 1$, корень $x=0$ является решением уравнения.

Ответ: $0$

2) $\frac{3x^2}{3x+1} - 2 = \frac{2x+1}{3x+1}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель $3x+1$ не должен быть равен нулю:

$3x+1 \neq 0 \implies 3x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{3}$

Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения:

$\frac{3x^2}{3x+1} - \frac{2x+1}{3x+1} - 2 = 0$

Так как у первых двух дробей одинаковый знаменатель, объединим их:

$\frac{3x^2 - (2x+1)}{3x+1} - 2 = 0$

$\frac{3x^2 - 2x - 1}{3x+1} - 2 = 0$

Теперь приведем все к общему знаменателю $3x+1$:

$\frac{3x^2 - 2x - 1 - 2(3x+1)}{3x+1} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$3x^2 - 2x - 1 - 2(3x+1) = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$3x^2 - 2x - 1 - 6x - 2 = 0$

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=3, b=-8, c=-3$

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{1}{3}$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $3$