Номер 1335, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1335, страница 409.

Условие.

1335 1) $x^2 + ax - b^2 + \frac{a^2}{4} = 0;$

2) $\frac{2x}{2x-a} - \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2-a^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение $x^2 + ax - b^2 + \frac{a^2}{4} = 0$.
Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Для его решения сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полный квадрат:
$(x^2 + ax + \frac{a^2}{4}) - b^2 = 0$
Выражение в скобках является формулой квадрата суммы $(x + \frac{a}{2})^2$. Подставим это в уравнение:
$(x + \frac{a}{2})^2 - b^2 = 0$
Теперь мы имеем разность квадратов. Перенесем $b^2$ в правую часть:
$(x + \frac{a}{2})^2 = b^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + \frac{a}{2} = \pm b$
Выразим $x$, чтобы найти корни уравнения:
$x = -\frac{a}{2} \pm b$
Таким образом, получаем два решения:
$x_1 = b - \frac{a}{2}$
$x_2 = -b - \frac{a}{2}$

Ответ: $x = b - \frac{a}{2}; x = -b - \frac{a}{2}$.

2)

Дано дробно-рациональное уравнение $\frac{2x}{2x-a} - \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2 - a^2}$.
В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.
$2x - a \neq 0 \implies x \neq \frac{a}{2}$
$2x + a \neq 0 \implies x \neq -\frac{a}{2}$
Знаменатель правой части $4x^2 - a^2 = (2x-a)(2x+a)$, поэтому условия совпадают. ОДЗ: $x \neq \pm\frac{a}{2}$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(2x-a)(2x+a)$:
$\frac{2x(2x+a) - x(2x-a)}{(2x-a)(2x+a)} = \frac{5a^2}{4x^2 - a^2}$
Поскольку знаменатели равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять числители:
$2x(2x+a) - x(2x-a) = 5a^2$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$4x^2 + 2ax - 2x^2 + ax = 5a^2$
$2x^2 + 3ax - 5a^2 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Решим его с помощью дискриминанта $D$:
$D = (3a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5a^2) = 9a^2 + 40a^2 = 49a^2 = (7a)^2$
Теперь найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-3a \pm \sqrt{49a^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-3a \pm 7a}{4}$
$x_1 = \frac{-3a + 7a}{4} = \frac{4a}{4} = a$
$x_2 = \frac{-3a - 7a}{4} = \frac{-10a}{4} = -\frac{5a}{2}$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня $x_1 = a$ и $x_2 = -\frac{5a}{2}$ не равны $\pm\frac{a}{2}$, если $a \neq 0$. Если $a=0$, исходное уравнение не имеет решений. Следовательно, найденные корни являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = a, x_2 = -\frac{5a}{2}$.