Номер 1333, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1333, страница 409.

Условие.

1333 1) $x^4 - 11x^2 + 30 = 0;$

2) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^4 - 11x^2 + 30 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Заменим $x^2$ на $y$ в исходном уравнении:

$(x^2)^2 - 11(x^2) + 30 = 0$

$y^2 - 11y + 30 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его, найдя дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Оба найденных значения для $y$ ($y_1 = 5$ и $y_2 = 6$) являются положительными, следовательно, они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для первого корня $y_1 = 5$:

$x^2 = 5$

$x = \pm\sqrt{5}$

Для второго корня $y_2 = 6$:

$x^2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$

Таким образом, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm\sqrt{5}; \pm\sqrt{6}$.

2) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Применим метод замены переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Подставим $y$ в уравнение:

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня ($y_1 = 1/2$ и $y_2 = 2$) положительны и удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для нахождения $x$.

Для первого корня $y_1 = \frac{1}{2}$:

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для второго корня $y_2 = 2$:

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

Исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.