Номер 1314, страница 408 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1314, страница 408.

Условие.

1314 1) $\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\cos\alpha;$

2) $\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right) = \sqrt{3}\cos\alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Докажем тождество $ \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cos \alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности углов:

$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $

$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

Применим эти формулы к левой части нашего тождества:

$ \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right) = \left(\sin \alpha \cos\frac{\pi}{3} + \cos \alpha \sin\frac{\pi}{3}\right) - \left(\sin \alpha \cos\frac{\pi}{3} - \cos \alpha \sin\frac{\pi}{3}\right) $

Раскроем скобки:

$ \sin \alpha \cos\frac{\pi}{3} + \cos \alpha \sin\frac{\pi}{3} - \sin \alpha \cos\frac{\pi}{3} + \cos \alpha \sin\frac{\pi}{3} $

Приведем подобные слагаемые. Выражения $ \sin \alpha \cos\frac{\pi}{3} $ и $ -\sin \alpha \cos\frac{\pi}{3} $ взаимно уничтожаются. Получаем:

$ 2 \cos \alpha \sin\frac{\pi}{3} $

Известно, что значение синуса для угла $ \frac{\pi}{3} $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставим это значение в наше выражение:

$ 2 \cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos \alpha $

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части: $ \sqrt{3} \cos \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha $. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right) = \sqrt{3} \cos \alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности углов:

$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $

Применим эти формулы к левой части нашего тождества:

$ \cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right) = \left(\cos\frac{\pi}{6} \cos \alpha - \sin\frac{\pi}{6} \sin \alpha\right) + \left(\cos\frac{\pi}{6} \cos \alpha + \sin\frac{\pi}{6} \sin \alpha\right) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Выражения $ -\sin\frac{\pi}{6} \sin \alpha $ и $ \sin\frac{\pi}{6} \sin \alpha $ взаимно уничтожаются. Получаем:

$ 2 \cos\frac{\pi}{6} \cos \alpha $

Известно, что значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{6} $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставим это значение в наше выражение:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha $

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части: $ \sqrt{3} \cos \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha $. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.