Номер 1308, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1308, страница 407.

Условие.

1308 1) $ \frac{4 \sin^2 \alpha - \sin^2 2\alpha}{4 - 4 \sin^2 \alpha - \sin^2 2\alpha} $

2) $ \frac{\text{tg}^2 2\alpha \text{tg}^2 \alpha - 1}{\text{tg}^2 \alpha - \text{tg}^2 2\alpha} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $\frac{4 \sin^2 \alpha - \sin^2 2\alpha}{4 - 4 \sin^2 \alpha - \sin^2 2\alpha}$.

Для начала воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Возведем обе части в квадрат: $\sin^2 2\alpha = (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

Подставим это выражение в числитель и знаменатель исходной дроби.

Преобразуем числитель:

$4 \sin^2 \alpha - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

Вынесем общий множитель $4 \sin^2 \alpha$ за скобки:

$4 \sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$, получаем:

$4 \sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = 4 \sin^4 \alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$4 - 4 \sin^2 \alpha - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем 4 за скобки: $4(1 - \sin^2 \alpha) - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Подставим это в выражение:

$4 \cos^2 \alpha - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

Вынесем общий множитель $4 \cos^2 \alpha$ за скобки:

$4 \cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)$

Еще раз применяя тождество $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем:

$4 \cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = 4 \cos^4 \alpha$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{4 \sin^4 \alpha}{4 \cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^4 = \tg^4 \alpha$.

Ответ: $\tg^4 \alpha$.

2) Упростим выражение $\frac{\tg^2 2\alpha \tg^2 \alpha - 1}{\tg^2 \alpha - \tg^2 2\alpha}$.

Вынесем знак минус из числителя и знаменателя, чтобы изменить порядок слагаемых:

$\frac{- (1 - \tg^2 2\alpha \tg^2 \alpha)}{- (\tg^2 2\alpha - \tg^2 \alpha)} = \frac{1 - \tg^2 2\alpha \tg^2 \alpha}{\tg^2 2\alpha - \tg^2 \alpha}$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

Числитель: $1 - (\tg 2\alpha \tg \alpha)^2 = (1 - \tg 2\alpha \tg \alpha)(1 + \tg 2\alpha \tg \alpha)$.

Знаменатель: $\tg^2 2\alpha - \tg^2 \alpha = (\tg 2\alpha - \tg \alpha)(\tg 2\alpha + \tg \alpha)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(1 - \tg 2\alpha \tg \alpha)(1 + \tg 2\alpha \tg \alpha)}{(\tg 2\alpha - \tg \alpha)(\tg 2\alpha + \tg \alpha)}$.

Перегруппируем множители, чтобы получить произведение двух дробей:

$\frac{1 + \tg 2\alpha \tg \alpha}{\tg 2\alpha - \tg \alpha} \cdot \frac{1 - \tg 2\alpha \tg \alpha}{\tg 2\alpha + \tg \alpha}$.

Теперь вспомним формулы для котангенса суммы и разности двух углов:

$\cot(A - B) = \frac{1 + \tg A \tg B}{\tg A - \tg B}$

$\cot(A + B) = \frac{1 - \tg A \tg B}{\tg A + \tg B}$

В нашем выражении, если положить $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$, то первая дробь совпадает с формулой для $\cot(A-B)$, а вторая — с формулой для $\cot(A+B)$.

Первая дробь: $\frac{1 + \tg 2\alpha \tg \alpha}{\tg 2\alpha - \tg \alpha} = \cot(2\alpha - \alpha) = \cot \alpha$.

Вторая дробь: $\frac{1 - \tg 2\alpha \tg \alpha}{\tg 2\alpha + \tg \alpha} = \cot(2\alpha + \alpha) = \cot 3\alpha$.

Следовательно, исходное выражение равно произведению этих двух результатов:

$\cot \alpha \cdot \cot 3\alpha$.

Ответ: $\cot \alpha \cot 3\alpha$.