Номер 1302, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1302, страница 407.

Условие.

1302 1) $\frac{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha}{\sin (-\alpha) - \sin (2.5\pi + \alpha)}$

2) $\frac{\cos 2\alpha - \sin 2\alpha - 2 \cos^2 \alpha}{\cos (-\alpha) - \cos (2.5\pi + \alpha)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $ \frac{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha}{\sin(-\alpha) - \sin(2,5\pi + \alpha)} $.

Сначала преобразуем числитель. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $:

$ \sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha = \sin 2\alpha + (1 - 2 \sin^2 \alpha) + 2 \sin^2 \alpha = \sin 2\alpha + 1 $.

Теперь преобразуем знаменатель. Используем свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $ и формулы приведения.

$ 2,5\pi = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Так как период синуса равен $ 2\pi $, то $ \sin(2.5\pi + \alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) $.

По формуле приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha $.

Таким образом, знаменатель равен: $ \sin(-\alpha) - \sin(2.5\pi + \alpha) = -\sin \alpha - \cos \alpha = -(\sin \alpha + \cos \alpha) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{1 + \sin 2\alpha}{-(\sin \alpha + \cos \alpha)} $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ для преобразования числителя:

$ 1 + \sin 2\alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 $.

Получаем:

$ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{-(\sin \alpha + \cos \alpha)} = -(\sin \alpha + \cos \alpha) $.

Ответ: $ -(\sin \alpha + \cos \alpha) $

2) Упростим выражение $ \frac{\cos 2\alpha - \sin 2\alpha - 2 \cos^2 \alpha}{\cos(-\alpha) - \cos(2,5\pi + \alpha)} $.

Сначала преобразуем числитель. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $:

$ \cos 2\alpha - \sin 2\alpha - 2 \cos^2 \alpha = (2 \cos^2 \alpha - 1) - \sin 2\alpha - 2 \cos^2 \alpha = -1 - \sin 2\alpha = -(1 + \sin 2\alpha) $.

Теперь преобразуем знаменатель. Используем свойство четности косинуса $ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $ и формулы приведения.

$ 2,5\pi = 2\pi + \frac{\pi}{2} $. Так как период косинуса равен $ 2\pi $, то $ \cos(2.5\pi + \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $.

По формуле приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha $.

Таким образом, знаменатель равен: $ \cos(-\alpha) - \cos(2.5\pi + \alpha) = \cos \alpha - (-\sin \alpha) = \cos \alpha + \sin \alpha $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{-(1 + \sin 2\alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} $.

Как и в предыдущем примере, преобразуем выражение $ 1 + \sin 2\alpha $:

$ 1 + \sin 2\alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 $.

Получаем:

$ \frac{-(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha + \cos \alpha} = -(\sin \alpha + \cos \alpha) $.

Ответ: $ -(\sin \alpha + \cos \alpha) $