Номер 1296, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1296, страница 406.

Условие.

1296 Известно, что $ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = 3 $. Найти $ \operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Нам дано следующее тригонометрическое равенство: $tg \alpha + ctg \alpha = 3$.

Чтобы найти значение выражения $tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha$, мы можем возвести обе части исходного равенства в квадрат. Этот шаг позволит нам получить искомые слагаемые в квадрате.

$(tg \alpha + ctg \alpha)^2 = 3^2$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$tg^2 \alpha + 2 \cdot tg \alpha \cdot ctg \alpha + ctg^2 \alpha = 9$

Мы знаем, что тангенс и котангенс одного и того же угла являются взаимно обратными величинами, поэтому их произведение равно единице. Это одно из основных тригонометрических тождеств: $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$.

Подставим это значение в наше уравнение:

$tg^2 \alpha + 2 \cdot 1 + ctg^2 \alpha = 9$

$tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha + 2 = 9$

Чтобы найти искомое значение $tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha$, перенесем число 2 из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha = 9 - 2$

$tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha = 7$

Ответ: 7