Номер 1295, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1. Числа и алгебраические преобразования. Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа - номер 1295, страница 406.

Условие.

1295 Известно, что tg $\alpha = 2$. Найти значение выражения:

1) $\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha}$;

2) $\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дано, что $ \tg \alpha = 2 $. Необходимо найти значения двух выражений.

1)

Найдем значение выражения $ \frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha} $.

Поскольку $ \tg \alpha = 2 $, это означает, что $ \cos \alpha \neq 0 $. Поэтому мы можем разделить и числитель, и знаменатель дроби на $ \cos^2 \alpha $. Это позволит нам выразить все через $ \tg \alpha $.

Выполним деление:

$ \frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{3 \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}} $

Зная, что $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, упростим выражение:

$ \frac{\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + 3 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\tg^2 \alpha + \tg \alpha}{1 + 3 \tg \alpha} $

Теперь подставим известное значение $ \tg \alpha = 2 $ в полученное выражение:

$ \frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{1 + 6} = \frac{6}{7} $

Ответ: $ \frac{6}{7} $

2)

Найдем значение выражения $ \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} $.

Для решения этой задачи найдем значения $ \sin^2 \alpha $ и $ \cos^2 \alpha $, используя известное значение $ \tg \alpha = 2 $.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Подставим $ \tg \alpha = 2 $:

$ 1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ 1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

$ 5 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $

Отсюда находим $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} $.

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, найдем $ \sin^2 \alpha $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $

Подставим найденные значения $ \sin^2 \alpha = \frac{4}{5} $ и $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} $ в исходное выражение:

$ \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} = \frac{2 - \frac{4}{5}}{3 + \frac{1}{5}} $

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $ 2 - \frac{4}{5} = \frac{10}{5} - \frac{4}{5} = \frac{6}{5} $

Знаменатель: $ 3 + \frac{1}{5} = \frac{15}{5} + \frac{1}{5} = \frac{16}{5} $

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{6}{5}}{\frac{16}{5}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $