Номер 1295, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1295 Известно, что tg $\alpha = 2$. Найти значение выражения:

1) $\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha}$;

2) $\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}$.

Дано, что $\tg \alpha = 2$. Необходимо найти значения двух выражений.

1)

Найдем значение выражения $\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha}$.

Поскольку $\tg \alpha = 2$, это означает, что $\cos \alpha \neq 0$. Поэтому мы можем разделить и числитель, и знаменатель дроби на $\cos^2 \alpha$. Это позволит нам выразить все через $\tg \alpha$.

Выполним деление:

$\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + 3 \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{3 \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}}$

Зная, что $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, упростим выражение:

$\frac{\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + 3 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\tg^2 \alpha + \tg \alpha}{1 + 3 \tg \alpha}$

Теперь подставим известное значение $\tg \alpha = 2$ в полученное выражение:

$\frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{1 + 6} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$

2)

Найдем значение выражения $\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}$.

Для решения этой задачи найдем значения $\sin^2 \alpha$ и $\cos^2 \alpha$, используя известное значение $\tg \alpha = 2$.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

Подставим $\tg \alpha = 2$:

$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

$5 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Отсюда находим $\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$.

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, найдем $\sin^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Подставим найденные значения $\sin^2 \alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$ в исходное выражение:

$\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} = \frac{2 - \frac{4}{5}}{3 + \frac{1}{5}}$

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $2 - \frac{4}{5} = \frac{10}{5} - \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$

Знаменатель: $3 + \frac{1}{5} = \frac{15}{5} + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{16}{5}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$