Номер 1289, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1289, страница 406.

Условие.

1289 Доказать тождество $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = 2 \operatorname{tg}^2 \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Будем выполнять преобразования по шагам.

1. Упрощение числителя дроби.

Рассмотрим числитель: $1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2$.

Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Теперь подставим это выражение обратно в числитель:

$1 - (1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha \cos \alpha$.

2. Упрощение знаменателя дроби.

Рассмотрим знаменатель: $\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha$.

По определению котангенса $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Подставим это в выражение и приведем к общему знаменателю:

$\sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{(\sin \alpha \cos \alpha) \cdot \sin \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Вынесем общий множитель $\cos \alpha$ в числителе за скобки:

$\frac{\cos \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha}$.

Из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$. Подставим это в выражение:

$\frac{\cos \alpha (-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = -\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}$.

3. Преобразование всей дроби.

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в левую часть исходного тождества:

$\frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}}$.

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$(-2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \left(-\frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}\right) = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha}$.

Сократим дробь на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Используя определение тангенса $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:

$2 \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 2 \text{tg}^2 \alpha$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \text{ctg} \alpha} = 2 \text{tg}^2 \alpha$ верно, что и требовалось доказать.