Номер 1282, страница 405 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1282, страница 405.

Условие.

1282 1) $6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n}} \cdot \sqrt{18mn}$;

2) $\frac{a-1}{a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n}} \cdot \sqrt{18mn}$.

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатель не должен быть равен нулю. Это означает, что $m \ge 0$ и $n > 0$.

Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ для объединения корней в один:

$6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n} \cdot 18mn}$

Теперь упростим выражение под знаком корня:

$\frac{m}{2n} \cdot 18mn = \frac{18m \cdot m \cdot n}{2n}$

Сокращаем $n$ в числителе и знаменателе, а также делим $18$ на $2$:

$\frac{18m^2}{2} = 9m^2$

Подставляем упрощенное выражение обратно под корень:

$6n \cdot \sqrt{9m^2}$

Извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{9m^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{m^2} = 3|m|$

Так как из области допустимых значений мы знаем, что $m \ge 0$, то $|m| = m$.

Подставляем полученное значение в выражение и вычисляем окончательный результат:

$6n \cdot 3m = 18mn$

Ответ: $18mn$

2) Упростим выражение $\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}}$.

Выражение имеет смысл при $a > 0$, так как основания степеней должны быть положительными, а знаменатели не должны равняться нулю (что при $a>0$ выполняется).

Для упрощения вычислений введем замену. Пусть $x = a^{\frac{1}{4}}$. Тогда:

• $x^2 = (a^{\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}}$
• $x^3 = (a^{\frac{1}{4}})^3 = a^{\frac{3}{4}}$
• $x^4 = (a^{\frac{1}{4}})^4 = a$

Перепишем исходное выражение, используя переменную $x$:

$\frac{x^4 - 1}{x^3 + x^2} \cdot \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} \cdot x$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$
• $x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$
• $x^2 + x = x(x + 1)$

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$\frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x^2(x + 1)} \cdot \frac{x(x + 1)}{x^2 + 1} \cdot x$

Теперь сократим общие множители. Можно сократить $(x+1)$ и $(x^2+1)$:

$\frac{(x-1)\cancel{(x+1)}\cancel{(x^2+1)}}{x^2\cancel{(x+1)}} \cdot \frac{x(x+1)}{\cancel{x^2 + 1}} \cdot x = \frac{x-1}{x^2} \cdot x(x+1) \cdot x$

Объединим оставшиеся множители:

$\frac{(x-1) \cdot x(x+1) \cdot x}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)x^2}{x^2}$

Сократим $x^2$:

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

Выполним обратную замену, зная что $x^2 = a^{\frac{1}{2}}$:

$a^{\frac{1}{2}} - 1$

Это выражение также можно записать как $\sqrt{a} - 1$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$