Номер 1288, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1288, страница 406.

Условие.

1288 1) $\frac{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}$

2) $(1 + \operatorname{tg} \alpha) (1 + \operatorname{ctg} \alpha) - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$.

Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

$1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{1} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

Так как $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, то $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \text{tg}^2\alpha$.

Ответ: $\text{tg}^2\alpha$.

2) Упростим выражение $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Сначала раскроем скобки:

$(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha \cdot 1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$.

Используем тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.

Получаем: $1 + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + 1 = 2 + \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$2 + \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

$2 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$2 + \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha} + \frac{\cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha} - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = 2 + \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$2 + \frac{1 - 1}{\sin\alpha\cos\alpha} = 2 + \frac{0}{\sin\alpha\cos\alpha} = 2 + 0 = 2$.

Ответ: $2$.