Номер 1291, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1291, страница 406.

Условие.

1291 $\frac{\sin 2\alpha}{2(1-2 \cos^2 \alpha)} + \frac{\sin \alpha \cos (\pi - \alpha)}{1-2 \sin^2 \alpha}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения $ \frac{\sin 2\alpha}{2(1 - 2\cos^2 \alpha)} + \frac{\sin \alpha \cos(\pi - \alpha)}{1 - 2\sin^2 \alpha} $, мы преобразуем каждое слагаемое по отдельности, используя основные тригонометрические тождества.

Сначала рассмотрим первое слагаемое $ \frac{\sin 2\alpha}{2(1 - 2\cos^2 \alpha)} $.В числителе используем формулу синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.В знаменателе преобразуем выражение в скобках, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $. Отсюда $ 1 - 2\cos^2 \alpha = -(2\cos^2 \alpha - 1) = -\cos 2\alpha $.Подставив преобразованные части обратно в первое слагаемое, получаем:$ \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{2(-\cos 2\alpha)} = -\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha} $.

Теперь рассмотрим второе слагаемое $ \frac{\sin \alpha \cos(\pi - \alpha)}{1 - 2\sin^2 \alpha} $.В числителе применим формулу приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $. Тогда числитель принимает вид: $ \sin \alpha (-\cos \alpha) = -\sin \alpha \cos \alpha $.Знаменатель $ 1 - 2\sin^2 \alpha $ является одной из форм записи косинуса двойного угла: $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha $.Таким образом, второе слагаемое равно:$ \frac{-\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha} $.

Теперь сложим упрощенные выражения для обоих слагаемых:$ \left(-\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha}\right) + \left(-\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha}\right) = -2 \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha} $.

В числителе полученного выражения $ 2\sin \alpha \cos \alpha $ снова заменим на $ \sin 2\alpha $ по формуле синуса двойного угла:$ - \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos 2\alpha} = - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} $.

Используя определение тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем окончательный результат.$ - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = -\tan 2\alpha $.

Ответ: $ -\tan 2\alpha $.