Номер 1292, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1292, страница 406.

Условие.

1292 Доказать тождество $\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} - \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} = -\sin x - \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества выполним преобразование его левой части. Начнем с исходного выражения:

$\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} - \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Из него можно выразить $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставим эти выражения в числители дробей в левой части равенства:

$\frac{1 - \sin^2 x}{1 + \sin x} - \frac{1 - \cos^2 x}{1 - \cos x}$

Далее применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для обоих числителей:

$\frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x} - \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x}$

Теперь можно сократить дроби. Данное преобразование справедливо для всех $x$ из области определения исходного выражения, где знаменатели не обращаются в ноль, то есть при $1 + \sin x \neq 0$ (или $\sin x \neq -1$) и $1 - \cos x \neq 0$ (или $\cos x \neq 1$). После сокращения получаем:

$(1 - \sin x) - (1 + \cos x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 - \sin x - 1 - \cos x = -\sin x - \cos x$

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равной его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Преобразовав левую часть тождества, мы получили $-\sin x - \cos x$, что полностью совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.