Номер 1299, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1299, страница 406.

Условие.

1299 1) $\frac{1 - \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{1 + \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)};$

2) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла, выраженной через тангенс: $ \cos(2x) = \frac{1 - \text{tg}^2(x)}{1 + \text{tg}^2(x)} $.

В нашем случае в качестве аргумента $x$ выступает выражение $ \frac{\pi}{4} - \alpha $. Применим формулу:

$ \frac{1 - \text{tg}^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{1 + \text{tg}^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)} = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) $

Теперь упростим аргумент косинуса:

$ 2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} - 2 \cdot \alpha = \frac{\pi}{2} - 2\alpha $

Таким образом, наше выражение превращается в $ \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) $.

Используя формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin(\beta) $, где $ \beta = 2\alpha $, получаем окончательный результат:

$ \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(2\alpha) $

Ответ: $ \sin(2\alpha) $

2) Для упрощения этого выражения используем формулы двойного угла для синуса и косинуса.

Формула синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

Формула косинуса двойного угла (одна из трёх форм): $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 $.

Подставим эти формулы в исходное выражение. В числителе будет $ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $. В знаменателе:

$ 1 + \cos(2\alpha) = 1 + (2\cos^2(\alpha) - 1) = 2\cos^2(\alpha) $

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{\sin(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)} = \frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{2\cos^2(\alpha)} $

Сократим дробь на $ 2 $ и на $ \cos(\alpha) $ (при условии, что $ \cos(\alpha) \neq 0 $):

$ \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

По определению, отношение синуса к косинусу одного и того же угла равно тангенсу этого угла: $ \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \text{tg}(\alpha) $.

Ответ: $ \text{tg}(\alpha) $