Номер 1304, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упростить выражение (1304–1309).

1304 $\frac{5 \cos x - 3 \sin x}{\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin (-x)} - \frac{\sin 2x - 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$

1304.

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по шагам.

Исходное выражение:

$$\frac{5 \cos x - 3 \sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(-x)} - \frac{\sin 2x - 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

1. Упростим знаменатель первой дроби, используя формулы приведения и свойство нечетности синуса:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$

$$\sin(-x) = -\sin x$$

Таким образом, знаменатель первой дроби равен $\cos x - \sin x$. Выражение принимает вид:

$$\frac{5 \cos x - 3 \sin x}{\cos x - \sin x} - \frac{\sin 2x - 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$$

Общий знаменатель – это $\cos 2x$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(\cos x + \sin x)$:

$$\frac{(5 \cos x - 3 \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} - \frac{\sin 2x - 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

$$= \frac{(5 \cos x - 3 \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos 2x} - \frac{\sin 2x - 8 \sin^2 x}{\cos 2x}$$

3. Выполним вычитание дробей, объединив числители под общим знаменателем:

$$\frac{(5 \cos x - 3 \sin x)(\cos x + \sin x) - (\sin 2x - 8 \sin^2 x)}{\cos 2x}$$

4. Упростим числитель полученной дроби. Сначала раскроем скобки в первом произведении:

$$(5 \cos x - 3 \sin x)(\cos x + \sin x) = 5\cos^2 x + 5\cos x \sin x - 3\sin x \cos x - 3\sin^2 x$$

$$= 5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x$$

Теперь преобразуем вторую часть числителя, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$\sin 2x - 8\sin^2 x = 2\sin x \cos x - 8\sin^2 x$$

Подставим полученные выражения обратно в числитель и выполним вычитание:

$$(5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x) - (2\sin x \cos x - 8\sin^2 x)$$

$$= 5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 8\sin^2 x$$

Приведем подобные слагаемые:

$$= 5\cos^2 x + (2\sin x \cos x - 2\sin x \cos x) + (-3\sin^2 x + 8\sin^2 x)$$

$$= 5\cos^2 x + 5\sin^2 x$$

Вынесем общий множитель 5 за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$$5(\cos^2 x + \sin^2 x) = 5 \cdot 1 = 5$$

5. Подставим упрощенный числитель (который равен 5) обратно в дробь:

$$\frac{5}{\cos 2x}$$

Ответ: $\frac{5}{\cos 2x}$.