Номер 1303, страница 407 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1303, страница 407.

Условие.

1303 Доказать тождество:

1) $\frac{1 - \cos (2\pi - 2\alpha)}{1 - \cos^2 (\alpha + \pi)} = 2;$

2) $\frac{\sin^2 (\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin (-\alpha)} = 1 + \cos (\alpha - 90^\circ).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для доказательства тождества $\frac{1 - \cos(2\pi - 2\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha + \pi)} = 2$ преобразуем его левую часть, упростив числитель и знаменатель.

1. Упрощение числителя $1 - \cos(2\pi - 2\alpha)$:
Используем формулу приведения для косинуса: $\cos(2\pi - x) = \cos(x)$.
Применительно к нашему выражению: $\cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.
Теперь числитель имеет вид $1 - \cos(2\alpha)$.
Далее применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$.
$1 - \cos(2\alpha) = 1 - (1 - 2\sin^2(\alpha)) = 1 - 1 + 2\sin^2(\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$.

2. Упрощение знаменателя $1 - \cos^2(\alpha + \pi)$:
Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$.
Тогда $\cos^2(\alpha + \pi) = (-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$.
Знаменатель принимает вид $1 - \cos^2(\alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, имеем $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$.

3. Подстановка и завершение доказательства:
Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в левую часть тождества:
$\frac{2\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$
При условии, что $\sin^2(\alpha) \ne 0$, мы можем сократить дробь, получив 2.
Таким образом, левая часть тождества равна 2, что совпадает с правой частью. Равенство $2 = 2$ верно. Тождество доказано.

Ответ:

2)

Для доказательства тождества $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)} = 1 + \cos(\alpha - 90^\circ)$ преобразуем обе его части.

1. Преобразование левой части: $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)}$
Сначала упростим числитель, используя формулу приведения $\sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(\alpha)$.
$\sin^2(\alpha + 90^\circ) = (\cos\alpha)^2 = \cos^2(\alpha)$.
Теперь упростим знаменатель. Синус является нечетной функцией, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$1 + \sin(-\alpha) = 1 - \sin(\alpha)$.
Левая часть тождества принимает вид: $\frac{\cos^2(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$.
Из основного тригонометрического тождества выразим $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$.
$\frac{1 - \sin^2(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$
Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю, получаем:
$\frac{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}{1 - \sin\alpha} = 1 + \sin\alpha$.

2. Преобразование правой части: $1 + \cos(\alpha - 90^\circ)$
Косинус является четной функцией, поэтому $\cos(\alpha - 90^\circ) = \cos(-(\alpha - 90^\circ)) = \cos(90^\circ - \alpha)$.
Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем, что правая часть равна:
$1 + \sin(\alpha)$.

3. Сравнение результатов:
Мы показали, что левая часть тождества равна $1 + \sin(\alpha)$ и правая часть тождества также равна $1 + \sin(\alpha)$.
Так как $1 + \sin(\alpha) = 1 + \sin(\alpha)$, тождество доказано.

Ответ: