Номер 1298, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1298, страница 406.

Условие.

1298 1) $\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\cot \alpha + \cot \beta}$;

2) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$;

3) $\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}$;

4) $\frac{\sin \alpha + 2 \sin \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{2 \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) - \sqrt{3} \cos \alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\frac{tg \alpha + tg \beta}{ctg \alpha + ctg \beta}$ воспользуемся определениями тангенса и котангенса: $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Преобразуем числитель:
$tg \alpha + tg \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$.
Преобразуем знаменатель:
$ctg \alpha + ctg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$.
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \cdot \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.
Сократив $\sin(\alpha + \beta)$ (при условии, что $\sin(\alpha + \beta) \neq 0$), получим:
$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = tg \alpha \cdot tg \beta$.
Ответ: $tg \alpha \cdot tg \beta$.

2) Для упрощения выражения $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$ раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.
$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.
Сложим полученные выражения:
$(\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1 + 1 + 0 = 2$.
Ответ: 2.

3) Для упрощения дроби $\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}$ применим формулы синуса и косинуса суммы:
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
Учитывая, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, преобразуем выражения в числителе и знаменателе.
$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha)$.
$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
Подставим эти выражения в числитель дроби:
$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2 \sin \alpha) = \sqrt{2} \sin \alpha$.
Подставим эти выражения в знаменатель дроби:
$\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2 \cos \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha$.
В итоге получаем:
$\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = tg \alpha$.
Ответ: $tg \alpha$.

4) Для упрощения дроби $\frac{\sin \alpha + 2 \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2 \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha}$ раскроем синус и косинус разности по формулам:
$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
Учитывая, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Преобразуем числитель:
$\sin \alpha + 2 \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \sin \alpha + 2(\sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{3} \sin \alpha) = \sin \alpha + 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha) = \sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$2 \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = 2(\cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha = \sin \alpha$.
Разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{\sqrt{3} \cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{3} ctg \alpha$.
Ответ: $\sqrt{3} ctg \alpha$.