Номер 1297, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упростить выражение (1297–1302).

1297 1) $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right);$

2) $\operatorname{tg}^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}.$

1) Упростим выражение $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$.
Сначала преобразуем первую дробь. Разделим числитель и знаменатель на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):
$\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 - \text{tg} \, \alpha}$.
Мы знаем, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Используя это, перепишем полученное выражение в виде, соответствующем формуле тангенса суммы $\text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A \text{tg}B}$:
$\frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 - \text{tg} \, \alpha} = \frac{\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \text{tg} \, \alpha}{1 - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) \text{tg} \, \alpha} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$.
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 0$.

Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$.
Рассмотрим каждую часть выражения по отдельности.
Для первого слагаемого используем формулу приведения: $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg} \, \alpha$.
Следовательно, $\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}^2 \alpha$.
Для второго слагаемого (дроби) используем формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$ и $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$.
$\frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = \text{tg}^2 \alpha$.
Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:
$\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha$.
Преобразуем эту разность, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус и приведя к общему знаменателю:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$.
В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем, что числитель равен $\cos 2\alpha \cdot 1 = \cos 2\alpha$.
Знаменатель преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$, из которой следует $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$:
$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin \alpha \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha$.
Собираем преобразованные числитель и знаменатель вместе:
$\frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{4}\sin^2 2\alpha} = 4 \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}$.

Ответ: $4 \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}$.