Номер 1297, страница 406 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1. Числа и алгебраические преобразования. Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа - номер 1297, страница 406.

Условие.

Упростить выражение (1297–1302).

1297 1) $ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right); $

2) $ \operatorname{tg}^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $.
Сначала преобразуем первую дробь. Разделим числитель и знаменатель на $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 - \text{tg} \, \alpha} $.
Мы знаем, что $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $. Используя это, перепишем полученное выражение в виде, соответствующем формуле тангенса суммы $ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A \text{tg}B} $:
$ \frac{1 + \text{tg} \, \alpha}{1 - \text{tg} \, \alpha} = \frac{\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \text{tg} \, \alpha}{1 - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) \text{tg} \, \alpha} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $.
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 0 $.

Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $ \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} $.
Рассмотрим каждую часть выражения по отдельности.
Для первого слагаемого используем формулу приведения: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg} \, \alpha $.
Следовательно, $ \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}^2 \alpha $.
Для второго слагаемого (дроби) используем формулы косинуса двойного угла: $ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha $ и $ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha $.
$ \frac{1 - \cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{2\cos^2 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = \text{tg}^2 \alpha $.
Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:
$ \text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha $.
Преобразуем эту разность, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус и приведя к общему знаменателю:
$ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} $.
В числителе применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $, получаем, что числитель равен $ \cos 2\alpha \cdot 1 = \cos 2\alpha $.
Знаменатель преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $, из которой следует $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha $:
$ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin \alpha \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha $.
Собираем преобразованные числитель и знаменатель вместе:
$ \frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{4}\sin^2 2\alpha} = 4 \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha} $.

Ответ: $4 \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha}$.