Номер 1286, страница 405 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1286, страница 405.

Условие.

1286 $\left( \frac{9a - 25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} \right)^4 .$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения необходимо последовательно упростить выражение. Сначала упростим каждую из дробей в скобках, затем выполним вычитание и возведение в степень.

1. Упрощение первой дроби

Рассмотрим первую дробь: $ \frac{9a - 25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} $.

Числитель $ 9a - 25a^{-1} $ является разностью квадратов, поскольку $ 9a = (3a^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ 25a^{-1} = (5a^{-\frac{1}{2}})^2 $. Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ 9a - 25a^{-1} = (3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}})(3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) $.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим:

$ \frac{(3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}})(3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} = 3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} $.

2. Упрощение второй дроби

Рассмотрим вторую дробь: $ \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} $.

Разложим числитель $ a + 7 + 10a^{-1} $ на множители. Можно заметить, что он является произведением $ (a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}) $ и $ (a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) $. Проверим это, раскрыв скобки:

$ (a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} + 5a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}} \cdot 5a^{-\frac{1}{2}} = a^1 + 5a^0 + 2a^0 + 10a^{-1} = a + 5 + 2 + 10a^{-1} = a + 7 + 10a^{-1} $.

Разложение верно. Подставим его в дробь и сократим:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} $.

3. Финальное вычисление

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение:

$ \left( (3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) \right)^4 $.

Выполним вычитание в скобках:

$ (3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}})^4 = (2a^{\frac{1}{2}})^4 $.

Возведем результат в четвертую степень:

$ (2a^{\frac{1}{2}})^4 = 2^4 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^4 = 16 \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 16a^2 $.

Ответ: $ 16a^2 $.