Номер 1280, страница 405 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1280, страница 405.

Условие.

1280 Упростить выражение и найти его значение:

1) $(1 + \sqrt{\frac{a - x}{a + x}}) \cdot (1 - \sqrt{\frac{a - x}{a + x}})$ при $a = 5$, $x = 4;

2) $\frac{a + \sqrt{a^2 - x^2}}{a - \sqrt{a^2 - x^2}} - \frac{a - \sqrt{a^2 - x^2}}{a + \sqrt{a^2 - x^2}}$ при $a = 3$, $x = \sqrt{5}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$\left(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) \cdot \left(1 - \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) = 1^2 - \left(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)^2 = 1 - \frac{a-x}{a+x}$

Приведем к общему знаменателю:

$1 - \frac{a-x}{a+x} = \frac{a+x}{a+x} - \frac{a-x}{a+x} = \frac{(a+x) - (a-x)}{a+x} = \frac{a+x-a+x}{a+x} = \frac{2x}{a+x}$

Теперь подставим заданные значения $a=5$ и $x=4$ в упрощенное выражение:

$\frac{2x}{a+x} = \frac{2 \cdot 4}{5+4} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

2) Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей:

$(a - \sqrt{a^2-x^2})(a + \sqrt{a^2-x^2})$

Используя формулу разности квадратов, упростим знаменатель:

$(a - \sqrt{a^2-x^2})(a + \sqrt{a^2-x^2}) = a^2 - (\sqrt{a^2-x^2})^2 = a^2 - (a^2-x^2) = a^2 - a^2 + x^2 = x^2$

Теперь преобразуем числитель:

$(a + \sqrt{a^2-x^2})(a + \sqrt{a^2-x^2}) - (a - \sqrt{a^2-x^2})(a - \sqrt{a^2-x^2}) = (a + \sqrt{a^2-x^2})^2 - (a - \sqrt{a^2-x^2})^2$

Снова воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a + \sqrt{a^2-x^2}$ и $B = a - \sqrt{a^2-x^2}$:

$A+B = (a + \sqrt{a^2-x^2}) + (a - \sqrt{a^2-x^2}) = 2a$

$A-B = (a + \sqrt{a^2-x^2}) - (a - \sqrt{a^2-x^2}) = 2\sqrt{a^2-x^2}$

Числитель равен $(A+B)(A-B) = 2a \cdot 2\sqrt{a^2-x^2} = 4a\sqrt{a^2-x^2}$.

Таким образом, всё выражение равно:

$\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}$

Подставим значения $a=3$ и $x=\sqrt{5}$:

$\frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{12 \cdot \sqrt{9 - 5}}{5} = \frac{12 \cdot \sqrt{4}}{5} = \frac{12 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5}$

Ответ: $\frac{24}{5}$.