Номер 1274, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1274, страница 404.

Условие.

1274 1) $ctg (\operatorname{arctg} \sqrt{3});$

2) $ctg (\operatorname{arctg} 1);$

3) $sin (\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}));$

4) $sin \left(\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}}\right);$

5) $cos (\operatorname{arctg} 1);$

6) $cos (\operatorname{arctg} (-\sqrt{3})).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Пусть $ \alpha = \arctg(\sqrt{3}) $. По определению арктангенса, это означает, что $ \tg(\alpha) = \sqrt{3} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Нам нужно найти $ \ctg(\arctg(\sqrt{3})) = \ctg(\alpha) $.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $ \ctg(\alpha) = \frac{1}{\tg(\alpha)} $.
Подставим значение $ \tg(\alpha) $:
$ \ctg(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}} $
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $:
$ \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Другой способ — найти сам угол. $ \arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} $. Тогда $ \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

2) Пусть $ \alpha = \arctg(1) $. По определению, $ \tg(\alpha) = 1 $ и $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Нам нужно найти $ \ctg(\arctg(1)) = \ctg(\alpha) $.
Используя тождество $ \ctg(\alpha) = \frac{1}{\tg(\alpha)} $, получаем:
$ \ctg(\alpha) = \frac{1}{1} = 1 $.
Также можно вычислить, что $ \arctg(1) = \frac{\pi}{4} $, и тогда $ \ctg(\frac{\pi}{4}) = 1 $.
Ответ: $ 1 $

3) Пусть $ \alpha = \arctg(-\sqrt{3}) $. По определению, $ \tg(\alpha) = -\sqrt{3} $ и $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Нам нужно найти $ \sin(\arctg(-\sqrt{3})) = \sin(\alpha) $.
Воспользуемся тождеством $ 1 + \tg^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $.
$ 1 + (-\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 $.
Значит, $ \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 4 $, откуда $ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{4} $.
Поскольку $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, косинус этого угла положителен: $ \cos(\alpha) > 0 $.
Следовательно, $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $.
Теперь найдем синус, используя определение тангенса $ \tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $:
$ \sin(\alpha) = \tg(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = -\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

4) Пусть $ \alpha = \arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) $. По определению, $ \tg(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Нам нужно найти $ \sin(\arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})) = \sin(\alpha) $.
Используем тождество $ 1 + \tg^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $.
$ 1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} $.
Отсюда $ \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = \frac{4}{3} $, значит $ \cos^2(\alpha) = \frac{3}{4} $.
Так как $ \tg(\alpha) > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти, где косинус положителен.
$ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Из $ \tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $ находим $ \sin(\alpha) $:
$ \sin(\alpha) = \tg(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

5) Пусть $ \alpha = \arctg(1) $. По определению, $ \tg(\alpha) = 1 $ и $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Нам нужно найти $ \cos(\arctg(1)) = \cos(\alpha) $.
Используем тождество $ 1 + \tg^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $.
$ 1 + 1^2 = 2 $.
$ \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 2 $, откуда $ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} $.
Поскольку $ \tg(\alpha) = 1 > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти, где $ \cos(\alpha) > 0 $.
$ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

6) Пусть $ \alpha = \arctg(-\sqrt{3}) $. По определению, $ \tg(\alpha) = -\sqrt{3} $ и $ \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Нам нужно найти $ \cos(\arctg(-\sqrt{3})) = \cos(\alpha) $.
Воспользуемся тождеством $ 1 + \tg^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $.
$ 1 + (-\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 $.
$ \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 4 $, откуда $ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{4} $.
Для любого угла $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ значение косинуса является положительным.
Следовательно, $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $