Номер 1270, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1270, страница 404.

Условие.

1270 Найти значение выражения $ \sin \frac{11\pi}{3} + \cos 690^{\circ} - \cos \frac{19\pi}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения значения данного выражения необходимо поочередно упростить каждый из его членов, используя свойства тригонометрических функций.

Шаг 1. Упрощение $\sin\frac{11\pi}{3}$

Воспользуемся периодичностью функции синус, период которой составляет $2\pi$. Представим угол $\frac{11\pi}{3}$ как разность, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$ соответствует одному обороту).

$\frac{11\pi}{3} = \frac{12\pi - \pi}{3} = \frac{12\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 4\pi - \frac{\pi}{3}$

Поскольку $4\pi$ это два полных оборота ($2 \cdot 2\pi$), мы можем отбросить эту часть на основании периодичности:

$\sin\frac{11\pi}{3} = \sin(4\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3})$

Синус — нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно:

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 2. Упрощение $\cos 690^\circ$

Воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой составляет $360^\circ$. Представим угол $690^\circ$, выделив целое число полных оборотов.

$690^\circ = 720^\circ - 30^\circ = 2 \cdot 360^\circ - 30^\circ$

Отбрасываем полные обороты на основании периодичности:

$\cos 690^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ - 30^\circ) = \cos(-30^\circ)$

Косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно:

$\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 3. Упрощение $\cos\frac{19\pi}{3}$

Снова используем периодичность косинуса. Представим угол $\frac{19\pi}{3}$, выделив целое число полных оборотов.

$\frac{19\pi}{3} = \frac{18\pi + \pi}{3} = \frac{18\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3}$

Поскольку $6\pi$ это три полных оборота ($3 \cdot 2\pi$), мы можем отбросить эту часть:

$\cos\frac{19\pi}{3} = \cos(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$

Значение косинуса для данного угла является табличным:

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Шаг 4. Вычисление итогового значения

Подставим найденные значения обратно в исходное выражение:

$\sin\frac{11\pi}{3} + \cos 690^\circ - \cos\frac{19\pi}{3} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{1}{2}$

Выполним арифметические действия:

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$