Номер 1271, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1271, страница 404.

Условие.

Вычислить (1271–1276).

1271 1) $2 \operatorname{arctg} 1 - 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$; 2) $8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \operatorname{arctg} \sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $2 \operatorname{arctg} 1 - 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$ найдем значения обратных тригонометрических функций, входящих в него.

Арктангенс числа 1, обозначаемый как $\operatorname{arctg} 1$, есть угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 1. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, и $\frac{\pi}{4}$ принадлежит указанному интервалу. Следовательно, $\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$.

Арксинус числа $\frac{\sqrt{3}}{2}$, обозначаемый как $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$, есть угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы значений известно, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\frac{\pi}{3}$ принадлежит указанному отрезку. Следовательно, $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$2 \operatorname{arctg} 1 - 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} - 3 \cdot \frac{\pi}{3}$

Выполним арифметические действия:

$2 \cdot \frac{\pi}{4} - 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

2) Для вычисления значения выражения $8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \operatorname{arctg} \sqrt{3}$ найдем значения обратных тригонометрических функций.

Арккосинус числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$, обозначаемый как $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$, есть угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\frac{\pi}{4}$ принадлежит указанному отрезку. Следовательно, $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Арктангенс числа $\sqrt{3}$, обозначаемый как $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$, есть угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Из таблицы значений известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, и $\frac{\pi}{3}$ принадлежит указанному интервалу. Следовательно, $\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \operatorname{arctg} \sqrt{3} = 8 \cdot \frac{\pi}{4} + 6 \cdot \frac{\pi}{3}$

Выполним арифметические действия:

$8 \cdot \frac{\pi}{4} + 6 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = 2\pi + 2\pi = 4\pi$

Ответ: $4\pi$