Номер 1276, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1276, страница 404.

Условие.

1276 1) $ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} $ при $ \text{tg} \alpha = \frac{3}{4} $;

2) $ \sin \alpha \cos \alpha $, если $ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$ при $\tg \alpha = \frac{3}{4}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2 \alpha$. Это возможно, так как если бы $\cos \alpha = 0$, то $\tg \alpha$ был бы не определен.
$\frac{\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}$
Так как $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, то выражение можно переписать в следующем виде:
$\frac{\tg \alpha}{\tg^2 \alpha - 1}$
Теперь подставим известное значение $\tg \alpha = \frac{3}{4}$ в полученное выражение:
$\frac{\frac{3}{4}}{(\frac{3}{4})^2 - 1} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{16} - 1} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{9 - 16}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{16}{7}) = -\frac{3 \cdot 4}{7} = -\frac{12}{7}$
Ответ: $-\frac{12}{7}$.

2) Чтобы найти значение $\sin \alpha \cos \alpha$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$, возведем обе части данного равенства в квадрат:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\frac{1}{3})^2$
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{9}$
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9}$
$1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9}$
Теперь выразим искомое произведение $\sin \alpha \cos \alpha$:
$2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9} - 1$
$2\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{8}{9}$
$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{8}{9} \div 2 = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9}$
Ответ: $-\frac{4}{9}$.