Номер 1275, страница 404 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1275, страница 404.

Условие.

1275 1) $\cos \left(6 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

2) $\sin (5 \arccos 0)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\cos\left(6 \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Для решения данного выражения, сначала найдем значение внутреннего выражения $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арккосинус числа $a$ (обозначается как $\arccos a$) — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Нам нужно найти угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0 \le \alpha \le \pi$. Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то:

$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{6\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$

Значение косинуса для угла $\frac{3\pi}{2}$ равно 0.

$\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

Ответ: $0$

2) $\sin\left(5 \arccos 0\right)$

Сначала найдем значение выражения $\arccos 0$.

Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен 0.

$\cos \alpha = 0$ при $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из этих значений только $\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Следовательно:

$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sin\left(5 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)$

Функция синуса является периодической с периодом $2\pi$. Мы можем вычесть $2\pi$ из аргумента, чтобы упростить выражение:

$\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$

$\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{2}$ равно 1.

$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

Ответ: $1$