Номер 1268, страница 403 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 1. Числа и алгебраические преобразования - номер 1268, страница 403.

Условие.

1268 Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них

$(0 < \alpha < \frac{\pi}{2})$:

1) $cos \alpha = 0,8$;

2) $sin \alpha = \frac{5}{13}$;

3) $tg \alpha = 2,4$;

4) $ctg \alpha = \frac{7}{24}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано: $\cos \alpha = 0,8 = \frac{4}{5}$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), все его тригонометрические функции положительны.
1. Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sin \alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$.
2. Найдем $\tan \alpha$ и $\cot \alpha$:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{0,75} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\sin \alpha = 0,6$; $\tan \alpha = 0,75$; $\cot \alpha = \frac{4}{3}$.

2)

Дано: $\sin \alpha = \frac{5}{13}$.
Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, все остальные тригонометрические функции также положительны.
1. Найдем $\cos \alpha$ из тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Так как $\cos \alpha > 0$, то $\cos \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
2. Найдем $\tan \alpha$ и $\cot \alpha$:
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5} = 2,4$.
Ответ: $\cos \alpha = \frac{12}{13}$; $\tan \alpha = \frac{5}{12}$; $\cot \alpha = \frac{12}{5}$.

3)

Дано: $\tan \alpha = 2,4 = \frac{12}{5}$.
Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, все остальные тригонометрические функции положительны.
1. Найдем $\cot \alpha$:
$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2,4} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.
2. Найдем $\cos \alpha$ из тождества $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$:
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (2,4)^2} = \frac{1}{1 + 5,76} = \frac{1}{6,76} = \frac{100}{676} = \frac{25}{169}$.
Так как $\cos \alpha > 0$, то $\cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.
3. Найдем $\sin \alpha$ из соотношения $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$:
$\sin \alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$; $\cos \alpha = \frac{5}{13}$; $\cot \alpha = \frac{5}{12}$.

4)

Дано: $\cot \alpha = \frac{7}{24}$.
Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, все остальные тригонометрические функции положительны.
1. Найдем $\tan \alpha$:
$\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.
2. Найдем $\sin \alpha$ из тождества $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$:
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \cot^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576+49}{576}} = \frac{576}{625}$.
Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sin \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
3. Найдем $\cos \alpha$ из соотношения $\cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha$:
$\cos \alpha = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{24}{25}$; $\cos \alpha = \frac{7}{25}$; $\tan \alpha = \frac{24}{7}$.