Номер 1377, страница 411 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1377, страница 411.

Условие.

1377 1) $\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \cos 2x;$

2) $2 + \cos^2 x + 3 \sin x \cos x = \sin^2 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \cos 2x$

Для решения данного уравнения преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $\sin x \cos x$ за скобки:

$\sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \cos 2x$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$\sin x \cos x \cdot 1 = \cos 2x$

$\sin x \cos x = \cos 2x$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Из этой формулы следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$. Заменим левую часть уравнения:

$\frac{1}{2} \sin 2x = \cos 2x$

Проверим, может ли $\cos 2x$ быть равным нулю. Если $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что $\frac{1}{2} \sin 2x = 0$, то есть $\sin 2x = 0$. Однако $\sin 2x$ и $\cos 2x$ не могут одновременно равняться нулю, так как $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$. Значит, $\cos 2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$:

$\frac{1}{2} \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1$

$\frac{1}{2} \tan 2x = 1$

$\tan 2x = 2$

Теперь найдем общее решение для аргумента $2x$:

$2x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, получим окончательное решение для $x$:

$x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\arctan(2)}{2} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 + \cos^2 x + 3 \sin x \cos x = \sin^2 x$

Для решения этого уравнения представим число 2, используя основное тригонометрическое тождество: $2 = 2 \cdot 1 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos^2 x + 3 \sin x \cos x = \sin^2 x$

Перенесем $\sin^2 x$ из правой части в левую и раскроем скобки:

$2\sin^2 x + 2\cos^2 x + \cos^2 x + 3 \sin x \cos x - \sin^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2\sin^2 x - \sin^2 x) + (2\cos^2 x + \cos^2 x) + 3 \sin x \cos x = 0$

$\sin^2 x + 3 \sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$

Мы получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим: $1 + 3 \cdot 0 \cdot \sin x + 3 \cdot 0 = 0$, что приводит к неверному равенству $1=0$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (так как мы установили, что $\cos x \neq 0$):

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{3 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x + 3 \tan x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного:

$t^2 + 3t + 3 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения, чтобы определить наличие действительных корней:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для $t$. Это означает, что не существует такого действительного значения $\tan x$, которое удовлетворяло бы уравнению.

Ответ: решений нет.