Номер 1378, страница 411 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1378, страница 411.

Условие.

1378 1) $4 \sin^2 x - 8 \sin x \cos x + 10 \cos^2 x = 3;$

2) $3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $4 \sin^2 x - 8 \sin x \cos x + 10 \cos^2 x = 3$

Данное уравнение можно свести к однородному тригонометрическому уравнению второго порядка. Для этого представим число 3 в правой части, используя основное тригонометрическое тождество: $3 = 3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4 \sin^2 x - 8 \sin x \cos x + 10 \cos^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$4 \sin^2 x - 8 \sin x \cos x + 10 \cos^2 x - 3 \sin^2 x - 3 \cos^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - 8 \sin x \cos x + (10 \cos^2 x - 3 \cos^2 x) = 0$

$\sin^2 x - 8 \sin x \cos x + 7 \cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением уравнения. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим $1 - 8 \sin x \cdot 0 + 7 \cdot 0 = 0$, что приводит к неверному равенству $1 = 0$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Так как $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{8 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{7 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 8 \tan x + 7 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного:

$t^2 - 8t + 7 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 7$.

Выполним обратную замену и решим два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 7 \implies x = \arctan(7) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(7) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 1$

Это уравнение также можно свести к однородному. Заменим 1 в правой части на $\sin^2 x + \cos^2 x$:

$3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$(3 \sin^2 x - \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

$2 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем $2(1) - 2 \sin x \cdot 0 - 0 = 0$, что дает неверное равенство $2=0$. Значит, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 \tan^2 x - 2 \tan x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$2t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(2)(-1) = 4 + 8 = 12$

Корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Выполним обратную замену:

1) $\tan x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.