Номер 1379, страница 411 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1379, страница 411.

Условие.

1379 1) $ \sin 5x = \sin 3x; $

2) $ \cos 6x + \cos 2x = 0; $

3) $ \sin 3x + \cos 7x = 0; $

4) $ \sin x = \cos 5x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin 5x = \sin 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и воспользуемся формулой разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$\sin 5x - \sin 3x = 0$

$2 \sin\frac{5x-3x}{2} \cos\frac{5x+3x}{2} = 0$

$2 \sin x \cos 4x = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

а) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, \ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 6x + \cos 2x = 0$

Для решения используем формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2 \cos\frac{6x+2x}{2} \cos\frac{6x-2x}{2} = 0$

$2 \cos 4x \cos 2x = 0$

Уравнение распадается на два:

а) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 3x + \cos 7x = 0$

Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы привести все функции к синусу.

$\sin 3x + \sin(\frac{\pi}{2} - 7x) = 0$

Далее применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2 \sin\frac{3x + \frac{\pi}{2} - 7x}{2} \cos\frac{3x - (\frac{\pi}{2} - 7x)}{2} = 0$

$2 \sin(\frac{\pi/2 - 4x}{2}) \cos(\frac{10x - \pi/2}{2}) = 0$

$\sin(\frac{\pi}{4} - 2x) \cos(5x - \frac{\pi}{4}) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

а) $\sin(\frac{\pi}{4} - 2x) = 0 \implies \frac{\pi}{4} - 2x = \pi n \implies 2x = \frac{\pi}{4} - \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi n}{2}$. Так как $n$ - любое целое число, то $-n$ тоже, поэтому можно записать $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos(5x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies 5x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 5x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{3\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \ x = \frac{3\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin x = \cos 5x$

Воспользуемся формулой приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x)$

Равенство вида $\sin A = \sin B$ эквивалентно совокупности двух систем решений:

$A = B + 2\pi n$ или $A = \pi - B + 2\pi k$.

Рассмотрим оба случая:

а) $x = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi n$

$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k$

$x = \pi - \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k$

$-4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$. Заменим $-k$ на $m$ ($m$ - любое целое), чтобы получить более удобную форму записи: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.