Номер 1465, страница 418 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1465, страница 418.

Условие.

1465 Выяснить, пересекаются ли графики функций:

1) $y = 3x - 2$ и $y = 3x + 1$;

2) $y = 3x - 2$ и $y = 5x + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, пересекаются ли графики линейных функций вида $y = kx + b$, можно сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются в одной точке.
• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны и не пересекаются.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то прямые совпадают.

Другой способ — попытаться найти общую точку, решив систему уравнений. Если система имеет решение, графики пересекаются.

1) $y = 3x - 2$ и $y = 3x + 1$

Сравним коэффициенты данных функций. Для первой функции $y = 3x - 2$: угловой коэффициент $k_1 = 3$, свободный член $b_1 = -2$. Для второй функции $y = 3x + 1$: угловой коэффициент $k_2 = 3$, свободный член $b_2 = 1$. Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = 3$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики этих функций являются параллельными прямыми, которые не имеют общих точек.

Проверим это, приравняв правые части уравнений: $3x - 2 = 3x + 1$ $3x - 3x = 1 + 2$ $0 = 3$ Полученное равенство неверно. Это означает, что система уравнений не имеет решений, и, следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: графики функций не пересекаются.

2) $y = 3x - 2$ и $y = 5x + 1$

Сравним коэффициенты данных функций. Для первой функции $y = 3x - 2$: угловой коэффициент $k_1 = 3$. Для второй функции $y = 5x + 1$: угловой коэффициент $k_2 = 5$. Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые не параллельны и обязательно пересекутся в одной точке.

Найдем эту точку. Для этого приравняем правые части уравнений: $3x - 2 = 5x + 1$ $2 + 1 = 5x - 3x$ $3 = 2x$ $x = \frac{3}{2} = 1.5$ Существование единственного решения для $x$ подтверждает, что графики пересекаются. Чтобы найти полную координату точки пересечения, подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений: $y = 3(1.5) - 2 = 4.5 - 2 = 2.5$ Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами $(1.5; 2.5)$.

Ответ: графики функций пересекаются.